Jul. 3rd, 2012

Развитие http://posic.livejournal.com/657354.html

Теорема: пусть (B,d,h) -- CDG-кольцо, такое что градуированное кольцо B когерентно слева и всякий его левый идеал порожден не больше, чем ℵn элементами (для некоторого фиксированного натурального n). Тогда естественный (заведомо вполне строгий) триангулированный функтор из гомотопической категории левых CDG-модулей над B, подлежащие градуированные B-модули которых инъективны, в копроизводную категорию левых CDG-модулей над B является эквивалентностью категорий.

Доказательство: над когерентным слева (градуированным) кольцом B, условия ExtB1(M,J) = 0 для всех конечно представимых M и ExtBi(M,J) = 0 для всех конечно представимых M и всех i > 0 задают один и тот же класс (градуированных) левых B-модулей J (которые мы будем называть fp-инъективными). Класс этот замкнут относительно бесконечных прямых сумм и произведений, коядер вложений и расширений.

Чтобы доказать теорему, достаточно проверить в ее предположениях условие (*) из раздела 3.6 статьи Two kinds of derived categories... Нужно, чтобы счетные прямые суммы инъективных градуированных левых B-модулей имели конечную инъективную размерность; поскольку прямые суммы инъективных модулей fp-инъективны, достаточно, чтобы fp-инъективные (градуированные) левые B-модули имели конечную инъективную размерность.

B-модуль J инъективен, если ExtB1(B/I,J) = 0 для любого левого идеала I ⊂ B (потому что тогда можно продолжить гомоморфизм B-модулей I → J на B, откуда с помощью леммы Цорна выводится возможность продолжить любой гомоморфизм B-модулей со значениями в J). Поэтому B-модуль J имеет конечную инъективную размерность, если ExtBi(B/I,J) = 0 для некоторого фиксированного i > 0 и любого левого идеала I ⊂ B.

По предположению, идеал I является направленным прямым пределом семейства конечно порожденных левых идеалов Iα ⊂ B мощности, не превосходящей ℵn. Соответственно, модуль B/I является направленным прямым пределом семейства конечно представимых модулей B/Iα.

Остается заметить, что для любой направленной диаграммы модулей Mα и модуля N над любым кольцом B имеется спектральная последовательность, начинающаяся от производных функторов проективного предела lim* ExtB*(Mα,N) и сходящаяся к ExtB*(lim Mα, N), где lim обозначает индуктивный предел. Убедиться в ее существовании можно, заменив модуль N на его инъективную резольвенту и посчитав производные функторы индуктивного и проективного пределов с помощью бар-конструкций. В частности, если ExtBi(Mα,N) = 0 для всех α и всех i > 0, то ExtB*(lim Mα, N) = lim* HomB(Mα,N).

Поскольку гомологическая размерность производного функтора проективного предела по направленной диаграмме мощности ℵn не превосходит n + 1 (см. Barry Mitchell, The cohomological dimension of a directed set, Canadian J. Math. 25 #2, 1973), теорема доказана.

September 2025

S M T W T F S
  1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 1213
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 252627
282930    

Most Popular Tags

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Sep. 26th, 2025 09:38 am
Powered by Dreamwidth Studios