![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Производные функторы двух аргументов
Dec. 25th, 2011 01:32 amКак заметил мне английский академик Майлз Р., бывают проективные резольвенты и инъективные резольвенты, но it is not necessary to inflict both on the audience.
Я смотрю на это по-другому: возможность вычислять функтор Ext в категории модулей над кольцом с помощью, на выбор, проективных или инъективных резольвент -- редкая удача. Чаще бывает, что есть либо то, либо другое; в популярных нынче контекстах с инд-объектами, категориями Гротендика и т.д., обычно есть только инъективные резольвенты. У пучков есть только инъективные резольвенты.
У комодулей или дискретных модулей есть только инъективные резольвенты, но это половина правильной картины: у контрамодулей есть только проективные резольвенты. Я давно хочу придумать аналогичную "вторую половину картины" для пучков -- какие-нибудь контрапучки, у которых были бы только проективные резольвенты. Пока что не получается.
Впрочем, речь не об этом. Наряду с функтором Hom, есть и другие функторы двух аргументов, действующие на комодулях и контрамодулях, производные функторы которых можно вычислять только по одному из аргументов, поскольку подстановка инъективного комодуля или проективного контрамодуля во второй аргумент не делает этот функтор точным. Таков функтор контратензорного произведения (производный функтор которого можно вычислять только по контрамодульному аргументу), и, как теперь выясняется, также функтор Ctrhom для контра/комодулей над коммутативным (ко)кольцом (тоже нужно разрешать контрамодульный аргумент).
Это разнообразно усложняет жизнь; зато облегчает ее наличие функтора Cohom из комодулей в контрамодули, производный функтор которого можно вычислять по любому из аргументов с одинаковым результатом. На этом основано доказательство равенства гомологических размерностей категорий комодулей и контрамодулей, упоминавшееся в одном из последних постингов.
27.12.2011 -- Update: я ошибся (все время спотыкаюсь на этом месте); ситуация еще сложнее. Подстановка проективного контрамодуля в аргумент Ctrhom тоже не делает этот функтор точным по остающемуся аргументу (поскольку бесконечные произведения комодулей не точны). То же относится и к функтору контрамодульного тензорного произведения (поскольку не точны бесконечные прямые суммы контрамодулей).
Для построения производных функторов контрамодульного тензорного произведения и Ctrhom нужно разрешать оба аргумента; никакого одного не достаточно.
Я смотрю на это по-другому: возможность вычислять функтор Ext в категории модулей над кольцом с помощью, на выбор, проективных или инъективных резольвент -- редкая удача. Чаще бывает, что есть либо то, либо другое; в популярных нынче контекстах с инд-объектами, категориями Гротендика и т.д., обычно есть только инъективные резольвенты. У пучков есть только инъективные резольвенты.
У комодулей или дискретных модулей есть только инъективные резольвенты, но это половина правильной картины: у контрамодулей есть только проективные резольвенты. Я давно хочу придумать аналогичную "вторую половину картины" для пучков -- какие-нибудь контрапучки, у которых были бы только проективные резольвенты. Пока что не получается.
Впрочем, речь не об этом. Наряду с функтором Hom, есть и другие функторы двух аргументов, действующие на комодулях и контрамодулях, производные функторы которых можно вычислять только по одному из аргументов, поскольку подстановка инъективного комодуля или проективного контрамодуля во второй аргумент не делает этот функтор точным. Таков функтор контратензорного произведения (производный функтор которого можно вычислять только по контрамодульному аргументу), и, как теперь выясняется, также функтор Ctrhom для контра/комодулей над коммутативным (ко)кольцом (тоже нужно разрешать контрамодульный аргумент).
Это разнообразно усложняет жизнь; зато облегчает ее наличие функтора Cohom из комодулей в контрамодули, производный функтор которого можно вычислять по любому из аргументов с одинаковым результатом. На этом основано доказательство равенства гомологических размерностей категорий комодулей и контрамодулей, упоминавшееся в одном из последних постингов.
27.12.2011 -- Update: я ошибся (все время спотыкаюсь на этом месте); ситуация еще сложнее. Подстановка проективного контрамодуля в аргумент Ctrhom тоже не делает этот функтор точным по остающемуся аргументу (поскольку бесконечные произведения комодулей не точны). То же относится и к функтору контрамодульного тензорного произведения (поскольку не точны бесконечные прямые суммы контрамодулей).
Для построения производных функторов контрамодульного тензорного произведения и Ctrhom нужно разрешать оба аргумента; никакого одного не достаточно.
