Лемма Накаямы и комплексы свободных контрамодулей

Пусть C -- (возможно, неограниченный) комплекс свободных контрамодулей над топологическим локальным кольцом (см. предыдущий постинг) R с максимальным идеалом m (т.е., другими словами, m топологически нильпотентен и R/m -- поле). Тогда комплекс C стягиваем тогда и только тогда, когда комплекс векторных пространств C/m стягиваем (т.е., ацикличен).

Доказательство: выберем какую-нибудь стягивающую гомотопию для C/m. Пользуясь проективностью членов комплекса C, поднимем ее до гомотопии h на комплексе C. Тогда эндоморфизм dh + hd компоненты Cⁿ комплекса C является тождественным отображением по модулю m. Остается показать, что всякий морфизм свободных контрамодулей, являющийся изоморфизмом по модулю m, и сам является изоморфизмом. В самом деле, из леммы Накаямы для контрамодулей сразу следует, что такой морфизм сюръективен (здесь еще свободность контрамодулей не используется). Поскольку свободные контрамодули проективны, сюръективный морфизм между ними является проекцией на прямое слагаемое. Если такой морфизм является изоморфизмом по модулю m, то дополнительное прямое слагаемое равно нулю по модулю m, т.е. все в целом равно нулю, по той же лемме Накаямы.

Отметим, кстати, что всякий проективный контрамодуль над топологическим локальным кольцом свободен (по тем же самым причинам).