![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Хорошо бы все-таки научиться доказывать результаты о сохранении конечной порожденности (когерентности, конечности ранга) напрямую для матричных факторизаций, не переходя к триангулированным категориям особенностей.
В какой-то общности это даже легко делается. Пусть f: Y → X -- морфизм (хороших) схем и w --- сечение векторного расслоения L на X; нас интересуют прямые образы матричных факторизаций f*w при морфизме f (являющиеся, по определению, матричными факторизациями w). Утверждение: если морфизм f собственный, то прямой образ когерентной матричной факторизации когерентен с точностью до абсолютно ацикличных.
Доказательство: прямой образ вычисляется как тотализация комплекса Чеха, являющегося комплексом матричных факторизаций на X с когерентными когомологиями обоих комплексов-строчек (поскольку самый обычный производный прямой образ при собственном морфизме сохраняет когерентность комплексов пучков). Отсюда все следует.
Это доказательство хорошо во всех отношениях, но утверждение слишком слабо. Переходя к триангулированным категориям особенностей, можно показать, что для сохранения когерентности достаточно собственности морфизма нулевых локусов, и даже просто относительной собственности носителя. При этом надо предполагать, однако, что w и f*w являются локальными не делителями нуля.
Есть сильное ощущение, что последнее условие тут не по делу, но если переходить к триангулированным категориям особенностей, то оно необходимо. Понятие носителя матричной факторизации, однако, ни от каких предположений регулярности w не зависит.
Нельзя ли как-нибудь прямо доказать, что когерентность матричной факторизации сохраняется прямым образом морфизма, собственного на ее носителе, не пользуясь ни предположением, что w и f*w не делят ноль, ни переходом к триангулированным категориям особенностей?
P.S. Собственно, что это я? я же теперь знаю, как такие вещи делаются. Нужно просто описать функтор ограничения матричных факторизаций на открытую подсхему как функтор локализации Вердье по триангулированной категории матричных факторизаций, пучки-члены которых имеют теоретико-множественный носитель на замкнутом дополнении.
В какой-то общности это даже легко делается. Пусть f: Y → X -- морфизм (хороших) схем и w --- сечение векторного расслоения L на X; нас интересуют прямые образы матричных факторизаций f*w при морфизме f (являющиеся, по определению, матричными факторизациями w). Утверждение: если морфизм f собственный, то прямой образ когерентной матричной факторизации когерентен с точностью до абсолютно ацикличных.
Доказательство: прямой образ вычисляется как тотализация комплекса Чеха, являющегося комплексом матричных факторизаций на X с когерентными когомологиями обоих комплексов-строчек (поскольку самый обычный производный прямой образ при собственном морфизме сохраняет когерентность комплексов пучков). Отсюда все следует.
Это доказательство хорошо во всех отношениях, но утверждение слишком слабо. Переходя к триангулированным категориям особенностей, можно показать, что для сохранения когерентности достаточно собственности морфизма нулевых локусов, и даже просто относительной собственности носителя. При этом надо предполагать, однако, что w и f*w являются локальными не делителями нуля.
Есть сильное ощущение, что последнее условие тут не по делу, но если переходить к триангулированным категориям особенностей, то оно необходимо. Понятие носителя матричной факторизации, однако, ни от каких предположений регулярности w не зависит.
Нельзя ли как-нибудь прямо доказать, что когерентность матричной факторизации сохраняется прямым образом морфизма, собственного на ее носителе, не пользуясь ни предположением, что w и f*w не делят ноль, ни переходом к триангулированным категориям особенностей?
P.S. Собственно, что это я? я же теперь знаю, как такие вещи делаются. Нужно просто описать функтор ограничения матричных факторизаций на открытую подсхему как функтор локализации Вердье по триангулированной категории матричных факторизаций, пучки-члены которых имеют теоретико-множественный носитель на замкнутом дополнении.
