![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Есть два существенно разных понятия, скажем, B-модуля, проективного относительно A, для заданного гомоморфизма колец A→B.
1. В традиционном определении, B-модуль P проективен относительно A, если функтор B-модульных гомоморфизмов из P сохраняет точность троек B-модулей, расщепимых над A. B-модуль P проективен относительно A в смысле этого определения тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым B-модуля, индуцированного с A-модуля. Как нетрудно догадаться, относительно проективные модули в смысле этого определения можно использовать для вычисления относительных когомологий, т.е., производных функторов в точной категории B-модулей с A-расщепимыми точными тройками.
2. В совсем другом определении, B-модуль P проективен относительно A, если функтор B-модульных гомоморфизмов из P сохраняет точность троек B-модулей, инъективных над A. Это определение полезно в том случае, когда каждый B-модуль можно вложить в A-инъективный B-модуль; для левых B-модулей, достаточно чтобы B был плоским правым A-модулем. Примем это предположение. Тогда В-модуль P проективен относительно A в смысле данного второго определения тогда и только тогда, когда ExtBi(P,J)=0 для любого A-иньективного B-модуля J и всех i>0. Отсюда следует, что класс относительно проективных модулей в смысле данного определения замкнут относительно взятия расширений и ядер сюръективных морфизмов. Как нетрудно догадаться, относительно проективные B-модули в смысле этого определения можно использовать для вычисления абсолютных когомологий с помощью относительно приспособленных резольвент. Для любых B-модулей M и N, группы ExtBi(M,N) можно вычислить как когомологии комплекса гомоморфизмов из резольвенты P* модуля M, составленной из проективных над B относительно A, в смысле данного определения, модулей, в резольвенту J* модуля N, составленную из B-модулей, инъективных над A.
Аналогично имеются два существенно разных понятия относительно приспособленного комплекса. В традиционном определении, комплекс B-модулей проективен относительно A, если комплекс гомоморфизмов из него в любой A-стягиваемый комплекс B-модулей ацикличен; в другом определении, комплекс B-модулей проективен относительно A, если комплекс гомоморфизмов из него в любой A-стягиваемый комплекс A-инъективных B-модулей ацикличен.
1. В традиционном определении, B-модуль P проективен относительно A, если функтор B-модульных гомоморфизмов из P сохраняет точность троек B-модулей, расщепимых над A. B-модуль P проективен относительно A в смысле этого определения тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым B-модуля, индуцированного с A-модуля. Как нетрудно догадаться, относительно проективные модули в смысле этого определения можно использовать для вычисления относительных когомологий, т.е., производных функторов в точной категории B-модулей с A-расщепимыми точными тройками.
2. В совсем другом определении, B-модуль P проективен относительно A, если функтор B-модульных гомоморфизмов из P сохраняет точность троек B-модулей, инъективных над A. Это определение полезно в том случае, когда каждый B-модуль можно вложить в A-инъективный B-модуль; для левых B-модулей, достаточно чтобы B был плоским правым A-модулем. Примем это предположение. Тогда В-модуль P проективен относительно A в смысле данного второго определения тогда и только тогда, когда ExtBi(P,J)=0 для любого A-иньективного B-модуля J и всех i>0. Отсюда следует, что класс относительно проективных модулей в смысле данного определения замкнут относительно взятия расширений и ядер сюръективных морфизмов. Как нетрудно догадаться, относительно проективные B-модули в смысле этого определения можно использовать для вычисления абсолютных когомологий с помощью относительно приспособленных резольвент. Для любых B-модулей M и N, группы ExtBi(M,N) можно вычислить как когомологии комплекса гомоморфизмов из резольвенты P* модуля M, составленной из проективных над B относительно A, в смысле данного определения, модулей, в резольвенту J* модуля N, составленную из B-модулей, инъективных над A.
Аналогично имеются два существенно разных понятия относительно приспособленного комплекса. В традиционном определении, комплекс B-модулей проективен относительно A, если комплекс гомоморфизмов из него в любой A-стягиваемый комплекс B-модулей ацикличен; в другом определении, комплекс B-модулей проективен относительно A, если комплекс гомоморфизмов из него в любой A-стягиваемый комплекс A-инъективных B-модулей ацикличен.
