![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Воронов определяет полубесконечные (ко)гомологии алгебр Ли как экзотический производный функтор функтора полувариантов (полу-инвариантов, полу-коинвариантов), который в свою очередь определяется как образ пространства n-инвариантов g-модуля M в его пространстве b-коинвариантов, где n и b -- две дополнительные подалгебры в алгебре Ли g. Мне бы хотелось определить полубесконечные гомологии в ситуации, когда задана только одна подалгебра n. От какого же функтора, спрашивается, они должны быть производным функтором? Вот ответ для (в известном смысле, тривиального) случая, когда g (или хотя бы n) конечномерна. Надо предполагать, что алгебра Ли n унимодулярна, т.е. присоединенное действие n на старшей внешней степени n должно быть тривиальным.
Если M -- какой-нибудь g-модуль, то (g,n)-полуварианты M -- это коядро отображения (g/n\otimes M)^n \to M^n, которое строится следующим образом. Рассмотрим отображение действия g\otimes M \to M; это гомоморфизм g-модулей; применим к нему функтор n-инвариантов. Получится отображение (g\otimes M)^n \to M^n. Я утверждаю, что ограничение этого отображения на (n\otimes M)^n равно нулю. В самом деле, это ограничение зависит только от структуры n-модуля на M; всякий n-модуль можно вложить в инъективный n-модуль; инъективный n-модуль является прямым слагаемым прямого произведения копий модуля Un^*; поэтому достаточно рассмотреть случай, когда M равен двойственному пространству Un^* к обертывающей алгебре алгебры n (рассматриваемому как левый n-модуль). Рассмотрим отображение (n\otimes Un^*)^n \to Un^{*n}; легко видеть, что (n\otimes Un^*)^n естественно изоморфно n, а Un^{*n} равно основному полю k. Получаем отображение n\to k; разумеется, это ни что иное, как след присоединенного представления, равный нулю по предположению. Таким образом, построено отображение (g\otimes M)^n/(n\otimes M)^n \to M^n; хотелось бы продолжить его до отображения из (g/n\otimes M)^n. Если M -- инъективный n-модуль, проблемы нет; в общем случае следует представить M как ядро отображения g-модулей, инъективных над n.
P.S. А какие резольвенты тут надо рассматривать, само собой понятно -- проективные над g относительно n комплексы инъективных n-модулей.
P.P.S. Есть еще двойственная штуковина -- "кополуварианты" -- ядро отображения M_n \to Hom(g/n,M)_n, которое строится аналогичным образом: начинаем с отображения действия M \to Hom(g,M); применяем функтор n-коинвариантов; проверяем, что отображение Un_n \to Hom(n,Un)_n равно нулю; и представляем M в виде коядра отображения g-модулей, свободных над n.
21.01.2007. P.P.P.S. Не надо предполагать, что алгебра Ли n унимодулярна. Пусть g -- алгебра Ли, n -- ее конечномерная подкоалгебра, и M -- g-модуль. Тогда g/n-полуварианты M -- это коядро отображения (g/n\otimes M\otimes det(n))^n \to (M\otimes det(n))^n, которое строится следующим образом. Рассмотрим отображение действия g\otimes M \to M; помножим его тензорно на det(n) и применим функтор n-инвариантов. Получится отображение (g\otimes M\otimes det(n))^n \to (M\otimes det(n))^n; утверждается, что его ограничение на (n\otimes M\otimes det(n))^n равно нулю для любых n и M. Это можно доказать, как выше, а можно, например, еще вот как. Любому элементу пространства (n\otimes M\otimes det(n))^n соответствует гомоморфизм n-модулей (n\otimes det(n))^* \to M, причем рассматриваемый элемент приходит при этом отображении из канонического элемента пространства (n\otimes (n\otimes det(n))^* \otimes det(n))^n. Поэтому достаточно проверить, что при отображении n\otimes (n\otimes det(n))^* \otimes det(n) \to (n\otimes det(n))^* \otimes det(n) = n^* канонический элемент переходит в ноль. Это легко проделать непосредственно, выбрав базис в n и т.д. А при отображении действия n\otimes n^* \to n^* канонический элемент переходит в след присоединенного действия. Теперь чтобы построить искомое отображение пространств инвариантов, достаточно представить M в виде ядра отображения g-модулей, инъективных над n.
Если M -- какой-нибудь g-модуль, то (g,n)-полуварианты M -- это коядро отображения (g/n\otimes M)^n \to M^n, которое строится следующим образом. Рассмотрим отображение действия g\otimes M \to M; это гомоморфизм g-модулей; применим к нему функтор n-инвариантов. Получится отображение (g\otimes M)^n \to M^n. Я утверждаю, что ограничение этого отображения на (n\otimes M)^n равно нулю. В самом деле, это ограничение зависит только от структуры n-модуля на M; всякий n-модуль можно вложить в инъективный n-модуль; инъективный n-модуль является прямым слагаемым прямого произведения копий модуля Un^*; поэтому достаточно рассмотреть случай, когда M равен двойственному пространству Un^* к обертывающей алгебре алгебры n (рассматриваемому как левый n-модуль). Рассмотрим отображение (n\otimes Un^*)^n \to Un^{*n}; легко видеть, что (n\otimes Un^*)^n естественно изоморфно n, а Un^{*n} равно основному полю k. Получаем отображение n\to k; разумеется, это ни что иное, как след присоединенного представления, равный нулю по предположению. Таким образом, построено отображение (g\otimes M)^n/(n\otimes M)^n \to M^n; хотелось бы продолжить его до отображения из (g/n\otimes M)^n. Если M -- инъективный n-модуль, проблемы нет; в общем случае следует представить M как ядро отображения g-модулей, инъективных над n.
P.S. А какие резольвенты тут надо рассматривать, само собой понятно -- проективные над g относительно n комплексы инъективных n-модулей.
P.P.S. Есть еще двойственная штуковина -- "кополуварианты" -- ядро отображения M_n \to Hom(g/n,M)_n, которое строится аналогичным образом: начинаем с отображения действия M \to Hom(g,M); применяем функтор n-коинвариантов; проверяем, что отображение Un_n \to Hom(n,Un)_n равно нулю; и представляем M в виде коядра отображения g-модулей, свободных над n.
21.01.2007. P.P.P.S. Не надо предполагать, что алгебра Ли n унимодулярна. Пусть g -- алгебра Ли, n -- ее конечномерная подкоалгебра, и M -- g-модуль. Тогда g/n-полуварианты M -- это коядро отображения (g/n\otimes M\otimes det(n))^n \to (M\otimes det(n))^n, которое строится следующим образом. Рассмотрим отображение действия g\otimes M \to M; помножим его тензорно на det(n) и применим функтор n-инвариантов. Получится отображение (g\otimes M\otimes det(n))^n \to (M\otimes det(n))^n; утверждается, что его ограничение на (n\otimes M\otimes det(n))^n равно нулю для любых n и M. Это можно доказать, как выше, а можно, например, еще вот как. Любому элементу пространства (n\otimes M\otimes det(n))^n соответствует гомоморфизм n-модулей (n\otimes det(n))^* \to M, причем рассматриваемый элемент приходит при этом отображении из канонического элемента пространства (n\otimes (n\otimes det(n))^* \otimes det(n))^n. Поэтому достаточно проверить, что при отображении n\otimes (n\otimes det(n))^* \otimes det(n) \to (n\otimes det(n))^* \otimes det(n) = n^* канонический элемент переходит в ноль. Это легко проделать непосредственно, выбрав базис в n и т.д. А при отображении действия n\otimes n^* \to n^* канонический элемент переходит в след присоединенного действия. Теперь чтобы построить искомое отображение пространств инвариантов, достаточно представить M в виде ядра отображения g-модулей, инъективных над n.
