posic | Полутензорное произведение и полуварианты (для лок. комп. вп. несв. группы) (Reply)

Пусть G — топологическая группа с открытой проконечной подгруппой H. Пусть C(G)=S(G,H) обозначает абелеву группу локально постоянных функций с компактным носителем на G. Прежде всего, для любого H-модуля N индуцированный G-модуль Ind_G,HN изоморфен инвариантам диагонального действия H в тензорном произведении M⊗C(G), т.е., котензорному произведению M⊗^HC(G); изоморфизм переводит H-эквивариантную (слева по G) функцию с компактным носителем g→m_g в формальную сумму ∑_x∈H\G m_g(x)⋅g(x). Далее, для любых двух G-модулей M и N группа N⊗C(G)⊗M с двумя действиями H — одно по N и слева по C(G), другое справа по C(G) и по M — изоморфна группе N⊗M⊗C(G) с двумя действиями H — одно по N, по М и слева по C(G), другое только справа по C(G); изоморфизм задается правилом n⋅g⋅m→(n⊗m^g⁻¹)⋅g. Таким образом, тройное котензорное произведение N⊗^HC(G)⊗^HM отождествляется с инвариантами индуцированного модуля (Ind_G,H(N⊗M))^H. Известные отображения из той и другой группы в (N⊗M)^H при этом согласованы, как можно проверить. Поэтому полутензорное произведение N и M над S(G,H) равно (G,H)-полувариантам модуля N⊗M; в частности, оно зависит только от структуры G-модуля (а не G×G-модуля) на N⊗M.