![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть E и F — два линейно компактных векторных пространства. Тогда их линейно компактное тензорное произведение E⊗^F является пополнением их тензорного произведения как дискретных векторных пространств E⊗F по любой из четырех разных топологий. А именно, базой открытых окрестностей 0 можно сделать подпространства вида U⊗V, или U⊗F, или E⊗V, или U⊗F+E⊗V, где U⊂E и V⊂F — произвольные открытые подпространства. Пополнение во всех четырех случаях будет одинаковым; однако вложение E×F → E⊗F непрерывно только по отношению к четвертой топологии.
Пусть E — тейтовское векторное пространство; положим F = E*. Тогда пространство следовых линейных операторов на E (то есть операторов с открытым ядром и компактным замыканием образа) может быть представлено как пополнение тензорного произведения E⊗F по любой из четырех разных топологий. Определим две из них. Во-первых, можно сделать базой открытых окрестностей 0 подпространства вида U⊗V, где U⊂E и V⊂F — произвольные открытые подпространства. Во-вторых, можно рассмотреть следующую топологию индуктивного предела. Открытыми являются такие векторные подпространства E⊗F, которые в пересечении с любым подпространством вида K⊗L, где K⊂E и L⊂F — произвольные (или открытые) линейно компактные подпространства, содержат подпространство вида U⊗L+K⊗V, где U⊂K и V⊂L — открытые подпространства в K и L. Пополнение в обоих случаях будет одинаковым; однако вложение E×F → E⊗F непрерывно только по отношению ко второй топологии.
Пусть E — линейно компактное векторное пространство и F — дискретное векторное пространство. Тогда тензорное произведение E⊗F полно по отношению к двум разным топологиям. Одна дискретная; другая — топология индуктивного предела линейно компактных векторных пространств E⊗L, где L пробегает конечномерные подпространства F. Вложение E×F → E⊗F непрерывно только по отношению ко второй топологии.
Пусть E — тейтовское векторное пространство; положим снова F = E*. Тогда пространство дискретных операторов на E (операторов с открытым ядром) может быть представлено как пополнение тензорного произведения E⊗F по любой из двух разных топологий. Во-первых, можно сделать базой окрестностей 0 подпространства вида E⊗V, где V⊂F — произвольное открытое подпространство. Во-вторых, можно рассмотреть следующую топологию индуктивного предела. Открытыми являются такие векторные подпространства E⊗F, которые в пересечении с любым подпространством вида E⊗L, где L⊂F — произвольное (или открытое) линейно компактное подпространство, содержит подпространство вида U⊗L+E⊗V, где U⊂E и V⊂L — открытые подпространства в E и L. Пополнение в обоих случаях будет одинаковым; однако вложение E×F → E⊗F непрерывно только по отношению ко второй топологии.
Пусть E — тейтовское векторное пространство; положим F = E*. Тогда пространство следовых линейных операторов на E (то есть операторов с открытым ядром и компактным замыканием образа) может быть представлено как пополнение тензорного произведения E⊗F по любой из четырех разных топологий. Определим две из них. Во-первых, можно сделать базой открытых окрестностей 0 подпространства вида U⊗V, где U⊂E и V⊂F — произвольные открытые подпространства. Во-вторых, можно рассмотреть следующую топологию индуктивного предела. Открытыми являются такие векторные подпространства E⊗F, которые в пересечении с любым подпространством вида K⊗L, где K⊂E и L⊂F — произвольные (или открытые) линейно компактные подпространства, содержат подпространство вида U⊗L+K⊗V, где U⊂K и V⊂L — открытые подпространства в K и L. Пополнение в обоих случаях будет одинаковым; однако вложение E×F → E⊗F непрерывно только по отношению ко второй топологии.
Пусть E — линейно компактное векторное пространство и F — дискретное векторное пространство. Тогда тензорное произведение E⊗F полно по отношению к двум разным топологиям. Одна дискретная; другая — топология индуктивного предела линейно компактных векторных пространств E⊗L, где L пробегает конечномерные подпространства F. Вложение E×F → E⊗F непрерывно только по отношению ко второй топологии.
Пусть E — тейтовское векторное пространство; положим снова F = E*. Тогда пространство дискретных операторов на E (операторов с открытым ядром) может быть представлено как пополнение тензорного произведения E⊗F по любой из двух разных топологий. Во-первых, можно сделать базой окрестностей 0 подпространства вида E⊗V, где V⊂F — произвольное открытое подпространство. Во-вторых, можно рассмотреть следующую топологию индуктивного предела. Открытыми являются такие векторные подпространства E⊗F, которые в пересечении с любым подпространством вида E⊗L, где L⊂F — произвольное (или открытое) линейно компактное подпространство, содержит подпространство вида U⊗L+E⊗V, где U⊂E и V⊂L — открытые подпространства в E и L. Пополнение в обоих случаях будет одинаковым; однако вложение E×F → E⊗F непрерывно только по отношению ко второй топологии.
