![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПродолжение этого — http://posic.livejournal.com/192120.html
Пусть g — тейтовская ("локально линейно компактная") алгебра Ли над полем k и n — ее (линейно) компактная открытая подалгебра. Пространство полувариантов Mg/n определено для модуля над каноническим центральным расширением g~ алгебры Ли g, на котором центральный элемент g~ действует как -1 (представление на критическом уровне). Центральное расширение g~ естественным образом расщепляется над n, так что n действует на M, и пространство полувариантов является коядром некоторого отображения (g/n⊗kM)n → Mn, которое требуется построить.
Хорошего определения я не знаю, но теперь появилось хоть какое-то. Оно совершенно банальное. Выберем дополнительное подпространство b к n в g. Тогда у канонического центрального расширения алгебры Ли gl(g) появляется сечение, и вместе с ним появляется сечение у g~ (причем это сечение согласовано с расщеплением над n). Таким образом, g/n=b вкладывается в g~. Рассмотрим композицию отображений (g/n⊗kM)n → g/n⊗kM → g~⊗kM → M. Явным вычислением проверяется, что эта композиция не зависит от выбора подпространства b и ее образ лежит внутри Mn.
Подкрутка на det(n), возникавшая при определении полувариантов для конечномерной алгебры Ли g (или в случае, когда хотя бы n конечномерна) закопана в этом определении в следующем месте: когда g конечномерна или дискретна, расширение g~, конечно, расщеплено, но это расщепление не согласовано с расщеплением над n, упоминаемым выше. Над n эти два расщепления как раз отличаются на характер следа присоединенного представления n.
Дополнение: если n — компактный открытый идеал в тейтовской алгебре Ли g, то g~ расщепляется, так что имеет смысл говорить о полувариантах g-модуля M, которые, конечно, совпадают с g/n-коинвариантами n-инвариантов M. Если же n — конечномерный идеал в дискретной алгебре Ли g, то можно пользоваться расщеплением g~, существующим ввиду дискретности g, и тогда полуварианты g-модуля M совпадают с g/n-коинвариантами n-инвариантов g-модуля det(n)⊗M (где det(n) является g-модулем, поскольку n — идеал).
Пусть g — тейтовская ("локально линейно компактная") алгебра Ли над полем k и n — ее (линейно) компактная открытая подалгебра. Пространство полувариантов Mg/n определено для модуля над каноническим центральным расширением g~ алгебры Ли g, на котором центральный элемент g~ действует как -1 (представление на критическом уровне). Центральное расширение g~ естественным образом расщепляется над n, так что n действует на M, и пространство полувариантов является коядром некоторого отображения (g/n⊗kM)n → Mn, которое требуется построить.
Хорошего определения я не знаю, но теперь появилось хоть какое-то. Оно совершенно банальное. Выберем дополнительное подпространство b к n в g. Тогда у канонического центрального расширения алгебры Ли gl(g) появляется сечение, и вместе с ним появляется сечение у g~ (причем это сечение согласовано с расщеплением над n). Таким образом, g/n=b вкладывается в g~. Рассмотрим композицию отображений (g/n⊗kM)n → g/n⊗kM → g~⊗kM → M. Явным вычислением проверяется, что эта композиция не зависит от выбора подпространства b и ее образ лежит внутри Mn.
Подкрутка на det(n), возникавшая при определении полувариантов для конечномерной алгебры Ли g (или в случае, когда хотя бы n конечномерна) закопана в этом определении в следующем месте: когда g конечномерна или дискретна, расширение g~, конечно, расщеплено, но это расщепление не согласовано с расщеплением над n, упоминаемым выше. Над n эти два расщепления как раз отличаются на характер следа присоединенного представления n.
Дополнение: если n — компактный открытый идеал в тейтовской алгебре Ли g, то g~ расщепляется, так что имеет смысл говорить о полувариантах g-модуля M, которые, конечно, совпадают с g/n-коинвариантами n-инвариантов M. Если же n — конечномерный идеал в дискретной алгебре Ли g, то можно пользоваться расщеплением g~, существующим ввиду дискретности g, и тогда полуварианты g-модуля M совпадают с g/n-коинвариантами n-инвариантов g-модуля det(n)⊗M (где det(n) является g-модулем, поскольку n — идеал).
