Морфизмы Мориты
May. 18th, 2007 11:33 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posic1. Морфизм Мориты из кольца A в кольцо B -- это A-B-бимодуль E, проективный и конечно порожденный как правый B-модуль. Вместо бимодуля E можно рассматривать B-A-бимодуль E*=Hom_B(E,B), проективный и конечно порожденный как левый B-модуль. Эквивалентное определение: морфизм Мориты из A в B -- это пара бимодулей (E,E*) снабженных морфизмом A-A-бимодулей A\to E\otimes_B E* и морфизмом B-B-бимодулей E*\otimes_A E\to B, удовлетворяющим обычным условиям, которые накладываются на спаривание двойственных объектов: композиции
E\to E\otimes_B E*\otimes_A E\to E и E*\to E*\otimes_A E\otimes_B E*\to E* должны быть тождественными отображениями.
Среди морфизмов Мориты содержатся как обычные гомоморфизмы колец, так и эквивалентности Мориты. Морфизмы Мориты образуют 2-категорию: 2-морфизмом из морфизма Мориты (E,E*) в морфизм Мориты (F,F*) называется пара отображений бимодулей E\to F и F*\to E*, удовлетворяющих очевидным условиям согласования с отображениями A\to E\otimes_B E* и E*\otimes_A E\to B.
2. Морфизм Мориты из коалгебры C в коалгебру D -- это пара, состоящая из C-D-бикомодуля E и D-C-бикомодуля E*, снабженных морфизмом C-C-бикомодулей C\to E\box_D E* и морфизмом D-D-бикомодулей E*\box_C E\to D, удовлетворяющих тем же самым условиям на композиции. Для любого морфизма Мориты (E,E*) из C в D, бикомодули E и E* являются инъективными C-комодулями.
Морфизм Мориты из коалгебры C в коалгебру D называется эквивалентностью Мориты, если отображения C\to E\box_D E* и E*\box_C E\to D являются изоморфизмами. Всякая эквивалентность между категориями (скажем, левых) C-комодулей и D-комодулей индуцирована некоторой эквивалентностью Мориты (E,E*) между C и D.
3. Что такое морфизм Мориты между коалгебрами над кольцами? Например, если C -- коалгебра над кольцом A и D -- коалгебра над кольцом B, паре согласованных отображений A\to B и C\to D можно сопоставить пару бикомодулей E=C\otimes_A B и E*=B\otimes_A C. Проблема с общим определением -- в неассоциативности котензорного произведения (для коалгебр над кольцами).
E\to E\otimes_B E*\otimes_A E\to E и E*\to E*\otimes_A E\otimes_B E*\to E* должны быть тождественными отображениями.
Среди морфизмов Мориты содержатся как обычные гомоморфизмы колец, так и эквивалентности Мориты. Морфизмы Мориты образуют 2-категорию: 2-морфизмом из морфизма Мориты (E,E*) в морфизм Мориты (F,F*) называется пара отображений бимодулей E\to F и F*\to E*, удовлетворяющих очевидным условиям согласования с отображениями A\to E\otimes_B E* и E*\otimes_A E\to B.
2. Морфизм Мориты из коалгебры C в коалгебру D -- это пара, состоящая из C-D-бикомодуля E и D-C-бикомодуля E*, снабженных морфизмом C-C-бикомодулей C\to E\box_D E* и морфизмом D-D-бикомодулей E*\box_C E\to D, удовлетворяющих тем же самым условиям на композиции. Для любого морфизма Мориты (E,E*) из C в D, бикомодули E и E* являются инъективными C-комодулями.
Морфизм Мориты из коалгебры C в коалгебру D называется эквивалентностью Мориты, если отображения C\to E\box_D E* и E*\box_C E\to D являются изоморфизмами. Всякая эквивалентность между категориями (скажем, левых) C-комодулей и D-комодулей индуцирована некоторой эквивалентностью Мориты (E,E*) между C и D.
3. Что такое морфизм Мориты между коалгебрами над кольцами? Например, если C -- коалгебра над кольцом A и D -- коалгебра над кольцом B, паре согласованных отображений A\to B и C\to D можно сопоставить пару бикомодулей E=C\otimes_A B и E*=B\otimes_A C. Проблема с общим определением -- в неассоциативности котензорного произведения (для коалгебр над кольцами).
