![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicКак их называть, кстати -- просто коалгебры? Это вызывает путаницу, поскольку выражение "коалгебра над полем" оказывается двусмысленным. Коалгеброиды (по аналогии с алгеброидами Хопфа)? Кокольца? Поиск в Mathscinet обнаруживает 5 упоминаний слова "coalgebroid" (из которых 3 принадлежат одному автору) и 77 упоминаний слова "coring", причем в обоих случаях по крайней мере в некоторых работах имеется в виду то понятие, которое мне нужно. В Math.ArXiv'е нет ни одного "коалгеброида" и 42 "кокольца". Но по-русски "кокольцо" получается как-то неблагозвучно. В общем, непонятно. Пусть будут просто коалгебры.
1. Как определить экзотическую производную категорию комодулей над коалгеброй C над кольцом A, так чтобы производные категории комодулей и контрамодулей были эквивалентны? Ответ понятен в случае, когда кольцо A имеет конечную гомологическую размерность, но хотелось бы избавиться от этого предположения. Надо полагать, определение должно быть таким, чтобы в случае базового кольца конечной гомологической размерности получалась обычная копроизводная категория C-комодулей, а в случае, когда коалгебра совпадает с базовым кольцом, получалась еще более обычная производная категория A-модулей. Кроме того, пожалуй, хотелось бы, чтобы толстая подкатегория, по которой факторизуется гомотопическая категория, содержала подкатегорию коацикличных комплексов и содержалась в подкатегории ацикличных комплексов. Непонятно, совместимы ли все эти пожелания.
Последним двум условиям удовлетворяет некое банальное определение: возьмем копроизводную категорию C-комодулей и профакторизуем по всему, что порождено комплексами C-комодулей, коиндуцированными (путем тензорного умножения на C) с ацикличных комплексов A-модулей. Непохоже, чтобы это определение решало исходную задачу. Ощущение такое, что коиндуцированных комплексов слишком мало. Впрочем, можно попробовать замкнуть подкатегорию, порожденную комплексами, коиндуцированными с ацикличных, относительно не только прямых сумм, но и прямых произведений...
Когда коалгебра C имеет коаугментацию (отображение A->C) в каком-то смысле нильпотентного толка (то есть коалгебра без коединицы C/A в каком-то смысле конильпотентна), есть еще два определения-кандидата, которые, кажется, возникают в кошулевой двойственности. Во-первых, можно профакторизовать копроизводную категорию по всему, что порождено ацикличными комплексами A-модулей, снабженными структурой C-комодулей, доставляемой коаугментацией. Во-вторых, можно объявить тривиальными такие комплексы C-комодулей, у которых кобар-комплекс (вычисляющий относительный Cotor с C-комодулем A) ацикличен в обычном смысле этого слова.
2. Наверное, более важный вопрос. Как бы научиться работать с левыми C-комодулями в ситуации, когда С не является плоским правым A-модулем? В этом случае категория С-комодулей, вообще говоря, не абелева, но имеются две точные категории: (1) категория А-проективных (или A-плоских) С-комодулей и (2) категория всех C-комодулей с A-расщепимыми (или A-"чистыми", т.е. сохраняющими точность при тензорном умножении на любой A-модуль) точными тройками. В категории номер (2) можно вычислять Ext-ы с помощью бар-конструкции, но хотелось бы научиться их вычислять в категории номер (1).
1. Как определить экзотическую производную категорию комодулей над коалгеброй C над кольцом A, так чтобы производные категории комодулей и контрамодулей были эквивалентны? Ответ понятен в случае, когда кольцо A имеет конечную гомологическую размерность, но хотелось бы избавиться от этого предположения. Надо полагать, определение должно быть таким, чтобы в случае базового кольца конечной гомологической размерности получалась обычная копроизводная категория C-комодулей, а в случае, когда коалгебра совпадает с базовым кольцом, получалась еще более обычная производная категория A-модулей. Кроме того, пожалуй, хотелось бы, чтобы толстая подкатегория, по которой факторизуется гомотопическая категория, содержала подкатегорию коацикличных комплексов и содержалась в подкатегории ацикличных комплексов. Непонятно, совместимы ли все эти пожелания.
Последним двум условиям удовлетворяет некое банальное определение: возьмем копроизводную категорию C-комодулей и профакторизуем по всему, что порождено комплексами C-комодулей, коиндуцированными (путем тензорного умножения на C) с ацикличных комплексов A-модулей. Непохоже, чтобы это определение решало исходную задачу. Ощущение такое, что коиндуцированных комплексов слишком мало. Впрочем, можно попробовать замкнуть подкатегорию, порожденную комплексами, коиндуцированными с ацикличных, относительно не только прямых сумм, но и прямых произведений...
Когда коалгебра C имеет коаугментацию (отображение A->C) в каком-то смысле нильпотентного толка (то есть коалгебра без коединицы C/A в каком-то смысле конильпотентна), есть еще два определения-кандидата, которые, кажется, возникают в кошулевой двойственности. Во-первых, можно профакторизовать копроизводную категорию по всему, что порождено ацикличными комплексами A-модулей, снабженными структурой C-комодулей, доставляемой коаугментацией. Во-вторых, можно объявить тривиальными такие комплексы C-комодулей, у которых кобар-комплекс (вычисляющий относительный Cotor с C-комодулем A) ацикличен в обычном смысле этого слова.
2. Наверное, более важный вопрос. Как бы научиться работать с левыми C-комодулями в ситуации, когда С не является плоским правым A-модулем? В этом случае категория С-комодулей, вообще говоря, не абелева, но имеются две точные категории: (1) категория А-проективных (или A-плоских) С-комодулей и (2) категория всех C-комодулей с A-расщепимыми (или A-"чистыми", т.е. сохраняющими точность при тензорном умножении на любой A-модуль) точными тройками. В категории номер (2) можно вычислять Ext-ы с помощью бар-конструкции, но хотелось бы научиться их вычислять в категории номер (1).
