Математика, она по нынешним временам развивается как?

[posic]

Нормальные герои всегда идут в обход.

Напиши на профильном сайте по-английски, что взяться заниматься наукой это как пойти воевать на войне ( https://mathoverflow.net/questions/289259/the-derived-drift-is-pretty-unsatisfying-and-dangerous-to-category-theory-or , https://chat.stackexchange.com/rooms/72103/discussion-on-question-by-disappointed-categoricien-the-derived-drift-is-prett ) -- в ответ тебе разные ругательные слова напишут. Дух времени таков, что мало кому улыбается идти штурмовать очередную высотку просто because it is there.

Но эффективная связность пространства математических идей -- не как у ровного места с отдельно стоящими высотками, которые никуда не ведут и никому не нужны, а как у непроходимой горной страны. Связей гораздо меньше, чем хотелось бы, и они высоко ценятся. Кто-то когда-то поленился подняться на какую-то горку -- и фронт науки ушел вперед, оставив позади себя зияющую дыру. Связи, которые должны были быть проложены через неизученную область, утрачены.

С прошествием десятилетий, деятельность всех этих людей, которые "пытаются доказать одну теорему, а не получится, так берутся за другую", в области притяжения темной зоны начинает описываться метафорой про танцы в комнате, в которой в полу дыра. Танцующие привыкли к дыре и ухитряются не проваливаться в нее, научившись обходить по краешку. Если "цель науки в том, чтобы ученым хорошо жилось" ( https://nikaan.livejournal.com/284621.html ) -- сойдет и так, конечно (до поры до времени). Если в чем-то большем, то так нельзя.

Не говоря об общем изменении цайтгайста -- хорошо было бы, если б ученая публика все-таки научилась с некоторым уважением относиться к людям, пытающимся разглядеть и заделать разрастающиеся дыры в полу, на котором она танцует.

Comments

[oskar-808.livejournal.com]

Этот Andy Putman несёт чушь и при этом хамит, отвратительное зрелище. Удивительно, что так много пользователей лайкнули его комментарии.

А что Вы думаете о "математической" части вопроса? Каково Ваше мнение на счёт "derived drift" (что бы это ни значило)?

[posic.livejournal.com]

Я думаю, что Giant resonance mode ( https://shkrobius.livejournal.com/394779.html ) -- это вообще очень плохо и разрушительно. Особенно для математики, которая совершенно к этому не приспособлена, будучи по своей природе локальной такой, нишевой деятельностью, где каждый занимается чем-то своим. "Математики ведут себя как фермионы" и т.д.

В остальном, сама по себе лурьевщина вполне хороша. Только шум, стоящий (или стоявший до недавнего времени) вокруг нее неадекватен. Если он теперь прошел или проходит, то это лучше. С воеводщиной сложнее в том смысле, что идея компьютерной верификации математических доказательств фундаментально ошибочна.

[posic.livejournal.com]

В алгебре тоже есть свой derived drift, конечно. Выражается он в том, что люди, которые иначе писали бы малосодержательные и малопопулярные статьи про кольца и модули, вместо этого пишут столь же малосодержательные, но ощутимо более популярные статьи про производные категории модулей или dg-модулей.

При этом, если малая содержательность того, что они писали бы про модули, объясняется прежде всего тем, что предмет этот уже очень сильно потоптанный, то малая содержательность того, что они пишут про производные категории, объясняется тем, что предмет этот существенно более сложный. В целом получается баш на баш; только большой резонанс вреден.

[posic.livejournal.com]

Я, как всегда, движусь против моды. Вхождение "производного" в пик моды в окружающем меня мире если не просто совпало, то способствовало выходу его из моды в моей деятельности.

В большинстве моих недавних работ, фундаментальную роль играет некоторый совершенно конкретный комплекс модулей длины два (два модуля, один дифференциал между ними), в приятности и полезности которого я пытаюсь убедить людей, до сих пор почему-то избегавших его рассматривать. Другие или более длинные комплексы в большинстве моих недавних работ не рассматриваются (или почти не рассматриваются).

Впрочем, написал я недавно и пару работ про новое понятие/конструкцию "псевдопроизводной категории". Одна из них удостоилась чести быть отвергнутой JPAA...

[(Anonymous)]

>С воеводщиной сложнее в том смысле, что идея компьютерной верификации математических доказательств фундаментально ошибочна.

Извините, что пишу анонимно, просто нет аккаунта.
Вы не могли бы, если это вообще возможно, подробнее расписать для нематематика, в чём именно состоит ошибочность этого подхода?
Считаете ли Вы, что продуцировать/верифицировать нетривиальные математические доказательства способен лишь человек?

[posic.livejournal.com]

Математика -- это совокупность того, что в ней понимают люди. Хорошее доказательство хорошо тем, что делает нас мудрее. Всякое доказательство проверено в той мере, в которой оно понято математиками; а в той мере, в которой не понято, оно бесполезно. Поэтому убеждать в правильности своих доказательств надо людей, способных понимать и размышлять. Альтернативы этому не существует. Компьютер ни думать, ни понимать не умеет, и убеждать его в чем-либо смысла нет.

[(Anonymous)]

Спасибо за ответ.

>Всякое доказательство проверено в той мере, в которой оно понято математиками; а в той мере, в которой не понято, оно бесполезно.

Значит ли это, что все чересчур длинные/технически сложные доказательства, которые существуют на сегодняшний день и в силу своей сложности непонятны многим математикам, следует пытаться доказать иными, более понятными (понятный ≠ простой) методами?
Если да, то всегда ли это возможно, как Вам кажется? И как быть с computer-assisted proofs, считать ли их достаточно убедительными?

[posic.livejournal.com]

В словах "понято математиками" перед словом "математиками" стоит квантор существования, а не всеобщности. Ничто в математике не может быть понятно всем; ни даже "всем математикам". Математическое знание по своей природе эзотерично, доступно не каждому. Для всякой простейшей вещи найдется немало математиков, которые ее не понимают. Важно существование достаточного числа понимающих, а не несуществование большого числа непонимающих. Непонимающих всегда много.

Переосмысление старых результатов, изобретение новых, в чем-то лучших (более прозрачных и т.д.) доказательств важных известных утверждений -- вполне уважаемая деятельность. Удается это в разных случаях в разной мере, конечно. Во многом это вопрос времени. Несколько десятилетий размышлений, постепенного освоения делают всякую вещь более доступной, просто в силу привыкания. Пишутся учебники, новые поколения овладевают каким-то материалом еще в студенческие годы, и т.д. Если люди считают, что этот материал стоит того, конечно.

Computer-assisted proofs могут обладать некоторой ненулевой убедительностью. Достаточно убедительными они никогда не являются. Бескомпьютерное доказательство всегда лучше.

[(Anonymous)]

>Несколько десятилетий размышлений, постепенного освоения делают всякую вещь более доступной, просто в силу привыкания.

Получается, что непонимающих так много, потому что они не в состоянии десятилетиями размышлять над непонятными им вещами и постоянно перескакивают на что-то новое?
Или же просто круг избранных, способных в принципе глубоко разобраться в предмете, ограничен самой природой математики; остальные обречены на непонимание, сколько бы они не бились?

И ещё один личный вопрос, если позволите: если Вы что-то не понимаете, как Вы обычно действуете? Пытаетесь проложить свой собственный путь к пониманию или же ищете уже проложенный?

[posic.livejournal.com]

1. Наука, вообще (и математика, в частности) -- это такое коллективное предприятие. В сущности, общечеловеческое.

2. Как все человеческие предприятия, оно основано на сотрудничестве и разделении труда.

3. При этом, никто не обязан в нем участвовать. И никто не обязан никому обеспечивать эффективную возможность участвовать.

4. Непонимающих много потому, что математика велика, а отдельно взятый человек мал. Никто не может за жизнь успеть понять больше, чем небольшую часть.

5. Освоение новых идей -- процесс групповой, коллективный. Более того, это процесс поколенческий. Что хотел, но не смог выучить профессор Икс, выучат его студенты (которым он передаст свое представление о важности этого).

6. В частности, и "привыкание", упомянутое выше -- это тоже, прежде всего, коллективное привыкание. Поколенческий процесс.

7. На индивидуальном уровне, действует формула "понимание пропорционально количеству времени, проведенного в размышлении".

8. Коэффициент пропорциональности очень сильно варьируется от человека к человеку. Математические способности размазаны по человечеству (и в том числе, по математикам) крайне неравномерно.

9. В том числе, у разных математиков имеются разные виды математических способностей. К занятиям разными областями математики, и к разным способам заниматься математикой.

10. Если говорить про меня, то это смотря с кем сравнивать. Вопрос контекста обсуждения. Сравнительно с большинством профессиональных математиков (научных работников) -- я маргинал, фанатик и фрик. Идущий своим путем, не стоя за ценой, и т.д.

11. Сравнительно с людьми, от профессиональных занятий научной математикой далекими (любителями, сторонними любопытствующими) -- я вполне крепкий профессионал, с престижным образованием, резюме, солидным списком публикаций, цитируемостью, приглашениями, поездками, конференциями, и т.д.

12. Пропасть, разделяющая пункты 10 и 11, меня огорчает, но это феномен не когнитивный, а социально-экономический. Это то же самое, как пропасть, в современном мире, между врачами и неврачами, или между полицейскими и неполицейскими -- я предпочел бы, чтобы ее не было, но она есть.

[nivanych.livejournal.com]

Эти вещи весьма полезны в инженерном смысле.
Хотя и автоматический вывод доказательств сейчас только чуть более, чем никакой.
Про него, я полностью соглашусь, что смысл только инженерный, что в математике смысла автоматически что-то вывести — около-ноль.
Более того, не только ноль, а может быть ещё и вредным ;-)

Про автоматическую проверку доказательств, инженерный смысл всё так же существеннен.
А математически... Мне кажется, некоторая небольшая "тактическая" польза есть, но точно не фундаментальная.
И вот тут, вреда никакого не вижу.

[oskar-808.livejournal.com]

Hom(C,B)→B?

[posic.livejournal.com]

Пусть R → U -- гомоморфизм колец. Традиционно в некоторой области теории колец и модулей предполагали, что этот гомоморфизм инъекктивен, и рассматривали R-R-бимодуль U/R. Я не предполагаю, что гомоморфизм инъективен, и рассматриваю двучленный комплекс R-R-бимодулей R → U.

[oskar-808.livejournal.com]

Понятно, спасибо.