Левое и правое
Jul. 19th, 2018 02:26 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicМежду прочим, мне иногда везет. Как многие слыхали (я, например -- еще будучи школьником, от Ю.П. Размыслова), все люди в теории некоммутативных колец делятся на "левых" и "правых". В смысле, тех, для кого слова "модуль над кольцом" означают по умолчанию -- левый модуль, и тех, для кого этот модуль правый.
Вопрос связан с тем, с какой стороны от аргумента писать функцию -- f(x) или (x)f, с известной проблемой контринтуитивности обозначений для композиции отображений, и т.д. В целом, как я понимаю, история некоммутативной алгебры сложилась так, что более старорежимные люди предпочитают правые модули, а испытавшие больше современных влияний -- левые. Условно говоря, можно ожидать, что алгебраист с мехмата МГУ будет писать элементы кольца справа от элементов модуля, а алгебраист с матфака ВШЭ -- слева.
В Праге модули по умолчанию правые. Для меня модули по умолчанию левые.
Так или иначе, в классической монографии Бо Стенстрёма про некоммутативные кольца частных предпочитаются правые модули. Рассматриваются топологии Габриэля, состоящие из правых идеалов, каждому правому модулю сопоставляется его модуль частных относительно такой топологии, и т.д. Произвольная категория Гротендика представляется в виде факторкатегории категории правых модулей над ассоциативным кольцом по локализующей подкатегории модулей кручения относительно такой топологии, и т.д. Конечно, там встречаются и левые модули (например, совершенным топологиям Габриэля правых идеалов соответствуют плоские слева эпиморфизмы колец), но правых больше.
В оригинальной диссертации Габриэля, как я сейчас погляжу, использовалась та же конвенция -- конструкция локализации применяется к правым модулям. Но Бурбаки, вставившие конструкцию некоммутативной локализации в упражнения к своей книге по коммутативной алгебре, написали ее для левых модулей.
Я еще в 2000-02 и 2006 годах, начиная писать про контрамодули над коалгебрами, полуалгебрами, кокольцами и т.д., принял конвенцию, что комодули могут быть как левыми, так и правыми, но контрамодули практически всегда левые. На самом деле, в этой науке нередко нужно рассматривать бикомодули (левые над одной коалгеброй и правые над другой, или даже над той же самой одновременно); но биконтрамодули, кажется, никогда не встречаются.
В 2007-08 годах у меня появились левые контрамодули над топологическими кольцами. Для того, чтобы их определение имело смысл, кольцо должно иметь базу топологии, состоящую из правых идеалов. Наряду с левыми контрамодулями, над таким кольцом имеет смысл рассматривать правые дискретные модули (они же модули кручения -- грубо говоря, примерно то же самое, что комодули).
Десять лет прошло, длинный ряд текстов про (естественно, всегда левые) контрамодули я постепенно понаписал за эти годы. Наконец, и конструкция некоммутативной локализации из книжки Стенстрёма привлекла к себе мое внимание. И -- ура! Там топологии правых идеалов, и у меня топологии правых идеалов. Там правые модули кручения, и у меня дискретные правые модули. Моя конвенция про левое и правое оказалась совместима с классической!
А что у классиков не было контрамодулей (ни правых, ни левых), так у меня зато они есть.
Вопрос связан с тем, с какой стороны от аргумента писать функцию -- f(x) или (x)f, с известной проблемой контринтуитивности обозначений для композиции отображений, и т.д. В целом, как я понимаю, история некоммутативной алгебры сложилась так, что более старорежимные люди предпочитают правые модули, а испытавшие больше современных влияний -- левые. Условно говоря, можно ожидать, что алгебраист с мехмата МГУ будет писать элементы кольца справа от элементов модуля, а алгебраист с матфака ВШЭ -- слева.
В Праге модули по умолчанию правые. Для меня модули по умолчанию левые.
Так или иначе, в классической монографии Бо Стенстрёма про некоммутативные кольца частных предпочитаются правые модули. Рассматриваются топологии Габриэля, состоящие из правых идеалов, каждому правому модулю сопоставляется его модуль частных относительно такой топологии, и т.д. Произвольная категория Гротендика представляется в виде факторкатегории категории правых модулей над ассоциативным кольцом по локализующей подкатегории модулей кручения относительно такой топологии, и т.д. Конечно, там встречаются и левые модули (например, совершенным топологиям Габриэля правых идеалов соответствуют плоские слева эпиморфизмы колец), но правых больше.
В оригинальной диссертации Габриэля, как я сейчас погляжу, использовалась та же конвенция -- конструкция локализации применяется к правым модулям. Но Бурбаки, вставившие конструкцию некоммутативной локализации в упражнения к своей книге по коммутативной алгебре, написали ее для левых модулей.
Я еще в 2000-02 и 2006 годах, начиная писать про контрамодули над коалгебрами, полуалгебрами, кокольцами и т.д., принял конвенцию, что комодули могут быть как левыми, так и правыми, но контрамодули практически всегда левые. На самом деле, в этой науке нередко нужно рассматривать бикомодули (левые над одной коалгеброй и правые над другой, или даже над той же самой одновременно); но биконтрамодули, кажется, никогда не встречаются.
В 2007-08 годах у меня появились левые контрамодули над топологическими кольцами. Для того, чтобы их определение имело смысл, кольцо должно иметь базу топологии, состоящую из правых идеалов. Наряду с левыми контрамодулями, над таким кольцом имеет смысл рассматривать правые дискретные модули (они же модули кручения -- грубо говоря, примерно то же самое, что комодули).
Десять лет прошло, длинный ряд текстов про (естественно, всегда левые) контрамодули я постепенно понаписал за эти годы. Наконец, и конструкция некоммутативной локализации из книжки Стенстрёма привлекла к себе мое внимание. И -- ура! Там топологии правых идеалов, и у меня топологии правых идеалов. Там правые модули кручения, и у меня дискретные правые модули. Моя конвенция про левое и правое оказалась совместима с классической!
А что у классиков не было контрамодулей (ни правых, ни левых), так у меня зато они есть.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2018-07-19 11:48 am (UTC)Я вот много лет пытаюсь понять, чем когомологии отличаются от гомологий, и как их нумеровать.
no subject
Date: 2018-07-19 11:56 am (UTC)Я тут, между прочим, отличился, наваляв текст на 80 с гаком страниц, в начале которого в одной из секций используется одна из этих конвенций, а ближе к концу, в совсем другом контексте -- противоположная. При этом там еще, как всегда, комодули (они же дискретные модули) и контрамодули, звездочки и факториальчики, полный комплект.
Текст еще не обнародован, и надо бы это переделать, но я все не могу решить, как. Я думаю, может быть, мне нужны не два индексных символа для индуцированных отображений (звездочка и восклицательный знак) -- а четыре. Белый кружочек и черный кружочек, или... вот даже не знаю, что.
no subject
Date: 2018-07-19 12:04 pm (UTC)no subject
Date: 2018-07-19 12:09 pm (UTC)Может быть, использовать диез и белый кружочек? Странноватая пара индексов; но я же не пытаюсь изобразить из себя культурного человека, знающего музыку или что там еще.
no subject
Date: 2018-07-20 04:29 am (UTC)no subject
Date: 2018-07-20 12:20 pm (UTC)