posic

Следующее определение можно найти в разделе 1.10 знаменитой статьи Гротендика "Sur quelques points d'algebre homologique". Мономорфизм X → E в абелевой категории A называется стирающе инъективным, если для любого мономорфизма X → B в A найдется морфизм B → E, делающий треугольную диаграмму X → B → E коммутативной.

Мономорфизм X → E стирающе инъективен тогда и только тогда, когда индуцированный морфизм Ext_A¹(−,X) → Ext_A¹(−,E) зануляется. Если объект X можно вложить в инъективный объект J в категории A, то мономорфизм X → E стирающе инъективен тогда и только тогда, когда он факторизуется через мономорфизм X → J. Если в категории A существуют инъективные оболочки, то мономорфизм X → E стирающе инъективен тогда и только тогда, когда объект E содержит инъективную оболочку X в качестве промежуточного подобъекта между X и E.

В конце раздела 1.10 имеются три замечания. Первое из них утверждает, что если абелева категория A удовлетворяет Ab4 и Ab3* и имеет кообразующую, то из всякого объекта в A бьет стирающе инъективный мономорфизм. Вот доказательство этого утверждения из статьи Гротендика, придуманное мною после часа размышлений вчера вечером.

Обозначим кообразующий объект категории A через V. Будем называть морфизм f: X → Y в категории A стирающим, если для всякого мономорфизма X → B существует морфизм B → Y, делающий треугольную диаграмму X → B → Y коммутативной. По определению, морфизм в категории A стирающе инъективен тогда и только тогда, когда он стирающий и является мономорфизмом.

Нас интересуют стирающие морфизмы X → V из произвольного объекта X ∈ A в кообразующий объект V. Обозначим через S множество всех таких морфизмов; тогда имеется естественный морфизм X → V^S в A (где V^S -- произведение S копий объекта V в категории A -- существует, поскольку мы предполагаем, что A удовлетворяет Ab3*). Очевидно, что морфизм X → V^S стирающий. Остается показать, что это мономорфизм. Пусть K -- ядро морфизма X → V^S; предположим, что K ≠ 0.

Обозначим через T множество всех нестирающих морфизмов X → V. Для каждого t ∈ T, выберем мономорфизм X → B_t в категории A, такой что морфизм t: X → V не факторизуется через B_t. По предположению, категория A удовлетворяет Ab4 (и, в частности, Ab3), так что существует копроизведение T копий объекта X в A, копроизведение объектов B_t по всем t ∈ T, и копроизведение мономорфизмов X → B_t является мономорфизмом X^(T) → ∐_t∈T B_t.

Рассмотрим расслоенное копроизведение (pushout) последнего мономорфизма с естественным морфизмом X^(T) → X. Получается мономорфизм X → C (где C -- факторобъект ∐_t∈T B_t по ядру морфизма X^(T) → X). В объекте X у нас имеется подобъект K; можно посмотреть на него как на подобъект в C. Поскольку V -- кообразующий объект категории A, найдется морфизм c: С → V, ограничение которого на K не равно нулю. Обозначим через x: X → V ограничение морфизма c на подобъект X ⊂ C.

Тогда морфизм x факторизуется через каждый из мономорфизмов X → B_t. Поэтому x ∉ T, откуда x ∈ S. Но все морфизмы X → V, принадлежащие S, зануляются на K, а x не зануляется на K. Полученное противоречие доказывает, что K = 0.

P.S. Ага, в терминологии Габбера морфизмы из класса, двойственного к тем, что я здесь называю "стирающими", называются "universally liftable". Так что и я мог бы вместо "стирающие" говорить "универсально продолжаемые", universally extendable. Или "повсеместно продолжаемые". Любой морфизм, факторизующийся через инъективный объект, является повсеместно продолжаемым, и т.д.

P.P.S. И обратно, если приглядеться к рассуждению, согласно которому любая кополная абелева категория с достаточным количеством инъективных объектов удовлетворяет Ab4, то можно видеть, что на самом деле оно доказывает, что любая кополная абелева категория, в которой из любого объекта бьет стирающе инъективный морфизм, удовлетворяет Ab4.