Комодули и контрамодули
Apr. 11th, 2016 10:30 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть R -- полное, отделимое топологическое кольцо, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля.
1. Как восстановить по категории дискретных правых R-модулей категорию левых R-контрамодулей? В дополнительном предположении, что у R есть счетная база окрестностей нуля, вопрос отчасти обсуждается в нашей статье с Й.Р. Категория сохраняющих копределы функторов discr-R → Ab эквивалентна категории отделимых левых R-контрамодулей. Категория отделимых левых R-контрамодулей, конечно, неабелева, не замкнута относительно коядер вложений, ни даже расширений в абелевой категории всех левых R-контрамодулей, и т.д. Тем не менее, здесь она нам пригодится.
Заметим, что всякий эпиморфизм в категории отделимых левых R-контрамодулей является также эпиморфизмом в категории всех левых R-контрамодулей. Это следует из того, что у всякого ненулевого левого R-контрамодуля есть ненулевой факторконтрамодуль, являющийся отделимым R-контрамодулем (лемма Накаямы). Теперь, проективные левые R-контрамодули отделимы, и мы можем выделить их внутри категории отделимых левых R-контрамодулей как объекты, обладающие свойством подъема по отношению к эпиморфизмам. Наконец, категория всех левых R-контрамодулей восстанавливается по категории своих проективных объектов стандартным образом (как всякая абелева категория с достаточным количеством проективных объектов).
2. Как восстановить по категории левых R-контрамодулей категорию дискретных правых R-модулей? Эта задача в чем-то проще и приятнее предыдущей. Категория discr-R просто эквивалентна категории сохраняющих копределы функторов R-contra → Ab (последняя, таким образом, оказывается абелевой).
В самом деле, такой функтор определяется своим значением на образующем проективном объекте R. Помимо того, что все объекты R-contra получаются из R как коядра морфизмов между копроизведениями, здесь важно также, что в категории абелевых групп морфизм из группы в прямую сумму бесконечного числа ее копий определяется своими проекциями на слагаемые (прямая сумма вкладывается в прямое произведение). Поэтому для восстановления функтора F достаточно знать правый R-модуль F(R).
Вопрос в том, какие правые R-модули можно восстановить до функторов F: R-contra → Ab. Дискретные можно, поскольку есть конструкция контратензорного произведения. Чтобы убедиться, что модуль F(R) обязан быть дискретным, нужно рассмотреть сходящееся к нулю семейство элементов rx в топологическом кольце R и соответствующий морфизм R → R[[X]] в R-contra. Существование морфизма F(R) → F(R)[X] в категории Ab, имеющего нужные проекции на слагаемые F(R) на правой стороне стрелки, означает, что для любого элемента m ∈ F(R) произведение mrx должно быть равно нулю для всех, кроме конечного числа, индексов x ∈ X.
2а. Всем хорошо вышеприведенное рассуждение, но остается в нем одна маленькая проблема общетопологического свойства. Пусть m -- элемент из F(R), и пусть U ⊂ R -- множество всех элементов r ∈ R, таких что mr = 0. Мы знаем, что для любого семейства элементов rx, сходящихся к нулю в топологии R, множество всех индексов x, не принадлежащих U, конечно. Как вывести отсюда, что U является окрестностью нуля в R (т.е., содержит открытую окрестность нуля)?
В случае наличия счетной базы у топологии R, ответ ясен. Но в общем случае?
Отметим, что вопрос этот носит фундаментальный характер по отношению к самому понятию "контрамодуля над топологическим кольцом". Могут ли быть две разные топологии на одном кольце, такие что связанные с ними монады на категории множеств совпадают? В том точном смысле, что совпадают структуры "допустимых семейств" и "операций суммирования", описанные во введении к нашему вышеупомянутому препринту?
1. Как восстановить по категории дискретных правых R-модулей категорию левых R-контрамодулей? В дополнительном предположении, что у R есть счетная база окрестностей нуля, вопрос отчасти обсуждается в нашей статье с Й.Р. Категория сохраняющих копределы функторов discr-R → Ab эквивалентна категории отделимых левых R-контрамодулей. Категория отделимых левых R-контрамодулей, конечно, неабелева, не замкнута относительно коядер вложений, ни даже расширений в абелевой категории всех левых R-контрамодулей, и т.д. Тем не менее, здесь она нам пригодится.
Заметим, что всякий эпиморфизм в категории отделимых левых R-контрамодулей является также эпиморфизмом в категории всех левых R-контрамодулей. Это следует из того, что у всякого ненулевого левого R-контрамодуля есть ненулевой факторконтрамодуль, являющийся отделимым R-контрамодулем (лемма Накаямы). Теперь, проективные левые R-контрамодули отделимы, и мы можем выделить их внутри категории отделимых левых R-контрамодулей как объекты, обладающие свойством подъема по отношению к эпиморфизмам. Наконец, категория всех левых R-контрамодулей восстанавливается по категории своих проективных объектов стандартным образом (как всякая абелева категория с достаточным количеством проективных объектов).
2. Как восстановить по категории левых R-контрамодулей категорию дискретных правых R-модулей? Эта задача в чем-то проще и приятнее предыдущей. Категория discr-R просто эквивалентна категории сохраняющих копределы функторов R-contra → Ab (последняя, таким образом, оказывается абелевой).
В самом деле, такой функтор определяется своим значением на образующем проективном объекте R. Помимо того, что все объекты R-contra получаются из R как коядра морфизмов между копроизведениями, здесь важно также, что в категории абелевых групп морфизм из группы в прямую сумму бесконечного числа ее копий определяется своими проекциями на слагаемые (прямая сумма вкладывается в прямое произведение). Поэтому для восстановления функтора F достаточно знать правый R-модуль F(R).
Вопрос в том, какие правые R-модули можно восстановить до функторов F: R-contra → Ab. Дискретные можно, поскольку есть конструкция контратензорного произведения. Чтобы убедиться, что модуль F(R) обязан быть дискретным, нужно рассмотреть сходящееся к нулю семейство элементов rx в топологическом кольце R и соответствующий морфизм R → R[[X]] в R-contra. Существование морфизма F(R) → F(R)[X] в категории Ab, имеющего нужные проекции на слагаемые F(R) на правой стороне стрелки, означает, что для любого элемента m ∈ F(R) произведение mrx должно быть равно нулю для всех, кроме конечного числа, индексов x ∈ X.
2а. Всем хорошо вышеприведенное рассуждение, но остается в нем одна маленькая проблема общетопологического свойства. Пусть m -- элемент из F(R), и пусть U ⊂ R -- множество всех элементов r ∈ R, таких что mr = 0. Мы знаем, что для любого семейства элементов rx, сходящихся к нулю в топологии R, множество всех индексов x, не принадлежащих U, конечно. Как вывести отсюда, что U является окрестностью нуля в R (т.е., содержит открытую окрестность нуля)?
В случае наличия счетной базы у топологии R, ответ ясен. Но в общем случае?
Отметим, что вопрос этот носит фундаментальный характер по отношению к самому понятию "контрамодуля над топологическим кольцом". Могут ли быть две разные топологии на одном кольце, такие что связанные с ними монады на категории множеств совпадают? В том точном смысле, что совпадают структуры "допустимых семейств" и "операций суммирования", описанные во введении к нашему вышеупомянутому препринту?
