posic

Век живи, век учись: оказывается, настоящим суровым алгебраистам известен критерий обращения в ноль элемента тензорного произведения двух модулей над ассоциативным кольцом. Вот он, этот критерий.

Пусть N -- правый R-модуль с образующими (не свободными, просто какими-то образующими элементами) n_i, и пусть M -- левый R-модуль с образующими (тоже не свободными, просто какими-то образующими) m_j. Пусть t -- элемент группы N ⊗_R M, записанный в виде ∑_i n_i ⊗ v_i, где v_i -- какие-то элементы модуля M, причем все из них, кроме конечного числа, равны нулю. Тогда t = 0 в N ⊗_R M тогда и только тогда, когда существуют элементы а_ij кольца R, все из которых, кроме конечного числа, равны нулю, такие что v_i = ∑_j a_ij m_j в M для всех i и ∑_j n_i a_ij = 0 в N для всех j.

Доказательство (оно требует немного подумать насчет логики построения подобного аргумента, но в конечном итоге достаточно прямолинейно) предоставляется читателю.