![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicСледуя терминологии из первого постинга этой серии, будем называть непрерывный морфизм топологических CDG-колец f: A → B левой коэквивалентностью, если индуцированный функтор ограничения скаляров между копроизводными категориями дискретных CDG-модулей Dco(B-moddiscr) → Dco(A-moddiscr) является эквивалентностью триангулированных категорий.
Пусть f: A → B -- непрерывный морфизм топологических CDG-алгебр над полем k, снабженных убывающими фильтрациями A = F0A ⊃ F1A ⊃ F2A ⊃ … и B = F0B ⊃ F1B ⊃ F2B ⊃ …, согласованными с умножениями и дифференциалами на A и B и удовлетворяющими следующим условиям. Во-первых, идеалы FnA и FnB должны быть открыты в A и B, и отображения из A и B в проективные пределы факторколец по этим идеалам должны быть топологическими изоморфизмами. Во-вторых, градуированные кольца A/FnA и B/FnB должны быть нетеровыми слева.
В-третьих, морфизм CDG-алгебр A/F1A → B/F1B должен быть левой коэквивалентностью. В-четвертых, для каждого n ≥ 1 конус морфизма CDG-бикомодулей FnA/Fn+1A → FnB/Fn+1B должен бытьабсолютно ацикличным коацикличным CDG-бикомодулем над F0B/F1B.
Теорема: в перечисленных предположениях, морфизм топологических CDG-алгебр f: A → B является левой коэквивалентностью.
Доказательство: для любого дискретного левого CDG-модуля M над CDG-алгеброй A обозначим через FnM CDG-подмодуль элементов, аннулируемых FnA в M. Возрастающая фильтрация CDG-подмодулями FnM -- исчерпывающая на M, и присоединенные факторы FnM/Fn−1M являются CDG-модулями над A/F1A. Ввиду предположения о том, что морфизм CDG-алгебр A/F1A → B/F1B является коэквивалентностью, мы можем заключить, что всякий дискретный левый CDG-модуль над A изоморфен в копроизводной категории Dco(A-moddiscr) CDG-модулю, полученному из левых CDG-модулей над B/F1B с помощью конусов и бесконечных прямых сумм.
Далее, ввиду условия нетеровости слева градуированных колец A/FnA и B/FnB, конечно-порожденные левые CDG-модули над A/FnA и B/FnB (а значит, и над A/F1A и B/F1B) являются компактными образующими копроизводных категорий Dco(A-moddiscr) и Dco(B-moddiscr), соответственно. Таким образом, остается показать, что функтор ограничения скаляров Dco(B-moddiscr) → Dco(A-moddiscr) индуцирует изоморфизмы пространств Hom между любыми двумя левыми CDG-модулями над B/F1B.
Для любых двух градуированных k-векторных пространств V и U, первое из которых полно по отношению к убывающей фильтрации F, а второе снабжено исчерпывающей возрастающей фильтрацией F, обозначим через HomkF(V,U) градуированное k-векторное пространство однородных линейных отображений V → U, аннулирующих FnV для достаточно больших n и имеющих образ, содержащийся в FmU для достаточно больших m. Градуированное k-векторное пространство HomkF(V,U) снабжено естественной исчерпывающей возрастающей фильтрацией F.
Для любого градуированного k-векторного пространства U, снабженного исчерпывающей возрастающей фильтрацией F, градуированное векторное пространство HomkF(B,U) имеет естественную структуру дискретного градуированного левого B-модуля, снабженного исчерпывающей возрастающей фильтрацией F, согласованной с убывающей фильтрацией F на кольце B. Из условия нетеровости слева градуированного кольца B следует, что B-модуль HomkF(B,U) является инъективным объектом категории дискретных градуированных левых B-модулей. Для любого дискретного градуированного левого B-модуля N, снабженного исчерпывающей возрастающей фильтрацией F, согласованной с убывающей фильтрацией F на кольце B, имеется естественный инъективный морфизм фильтрованных градуированных левых B-модулей N → HomkF(B,N).
Для любого дискретного левого CDG-модуля N над CDG-алгеброй B, снабженного исчерпывающей возрастающей фильтрацией F, согласованной с дифференциалом и действием кольца B с его убывающей фильтрацией F, прямая сумма дискретных градуированных левых B-модулей
HomkF(B,N) ⊕ HomkF(B,HomkF(B,N)) ⊕ HomkF(B,HomkF(B,HomkF(B,N))) ⊕ …
наделяется тремя дифференциалами, один из которых определяется в терминах умножения на B и действия B на N, другой -- в терминах дифференциалов на B и N, и третий -- в терминах элемента кривизны в CDG-алгебре B. Снабженный суммой этих трех дифференциалов, этот дискретный градуированный левый B-модуль превращается в дискретный левый CDG-модуль Cob~(B,N) над B. Из условия нетеровости слева градуированного кольца B следует, что подлежащий градуированный левый B-модуль этого CDG-модуля является инъективным объектом категории дискретных градуированных левых B-модулей. Имеется естественный замкнутый морфизм дискретных левых CDG-модулей N → Cob~(B,N) над B, конус которого является коацикличным дискретным левым CDG-модулем над B.
(Продолжение следует.)
Пусть f: A → B -- непрерывный морфизм топологических CDG-алгебр над полем k, снабженных убывающими фильтрациями A = F0A ⊃ F1A ⊃ F2A ⊃ … и B = F0B ⊃ F1B ⊃ F2B ⊃ …, согласованными с умножениями и дифференциалами на A и B и удовлетворяющими следующим условиям. Во-первых, идеалы FnA и FnB должны быть открыты в A и B, и отображения из A и B в проективные пределы факторколец по этим идеалам должны быть топологическими изоморфизмами. Во-вторых, градуированные кольца A/FnA и B/FnB должны быть нетеровыми слева.
В-третьих, морфизм CDG-алгебр A/F1A → B/F1B должен быть левой коэквивалентностью. В-четвертых, для каждого n ≥ 1 конус морфизма CDG-бикомодулей FnA/Fn+1A → FnB/Fn+1B должен быть
Теорема: в перечисленных предположениях, морфизм топологических CDG-алгебр f: A → B является левой коэквивалентностью.
Доказательство: для любого дискретного левого CDG-модуля M над CDG-алгеброй A обозначим через FnM CDG-подмодуль элементов, аннулируемых FnA в M. Возрастающая фильтрация CDG-подмодулями FnM -- исчерпывающая на M, и присоединенные факторы FnM/Fn−1M являются CDG-модулями над A/F1A. Ввиду предположения о том, что морфизм CDG-алгебр A/F1A → B/F1B является коэквивалентностью, мы можем заключить, что всякий дискретный левый CDG-модуль над A изоморфен в копроизводной категории Dco(A-moddiscr) CDG-модулю, полученному из левых CDG-модулей над B/F1B с помощью конусов и бесконечных прямых сумм.
Далее, ввиду условия нетеровости слева градуированных колец A/FnA и B/FnB, конечно-порожденные левые CDG-модули над A/FnA и B/FnB (а значит, и над A/F1A и B/F1B) являются компактными образующими копроизводных категорий Dco(A-moddiscr) и Dco(B-moddiscr), соответственно. Таким образом, остается показать, что функтор ограничения скаляров Dco(B-moddiscr) → Dco(A-moddiscr) индуцирует изоморфизмы пространств Hom между любыми двумя левыми CDG-модулями над B/F1B.
Для любых двух градуированных k-векторных пространств V и U, первое из которых полно по отношению к убывающей фильтрации F, а второе снабжено исчерпывающей возрастающей фильтрацией F, обозначим через HomkF(V,U) градуированное k-векторное пространство однородных линейных отображений V → U, аннулирующих FnV для достаточно больших n и имеющих образ, содержащийся в FmU для достаточно больших m. Градуированное k-векторное пространство HomkF(V,U) снабжено естественной исчерпывающей возрастающей фильтрацией F.
Для любого градуированного k-векторного пространства U, снабженного исчерпывающей возрастающей фильтрацией F, градуированное векторное пространство HomkF(B,U) имеет естественную структуру дискретного градуированного левого B-модуля, снабженного исчерпывающей возрастающей фильтрацией F, согласованной с убывающей фильтрацией F на кольце B. Из условия нетеровости слева градуированного кольца B следует, что B-модуль HomkF(B,U) является инъективным объектом категории дискретных градуированных левых B-модулей. Для любого дискретного градуированного левого B-модуля N, снабженного исчерпывающей возрастающей фильтрацией F, согласованной с убывающей фильтрацией F на кольце B, имеется естественный инъективный морфизм фильтрованных градуированных левых B-модулей N → HomkF(B,N).
Для любого дискретного левого CDG-модуля N над CDG-алгеброй B, снабженного исчерпывающей возрастающей фильтрацией F, согласованной с дифференциалом и действием кольца B с его убывающей фильтрацией F, прямая сумма дискретных градуированных левых B-модулей
HomkF(B,N) ⊕ HomkF(B,HomkF(B,N)) ⊕ HomkF(B,HomkF(B,HomkF(B,N))) ⊕ …
наделяется тремя дифференциалами, один из которых определяется в терминах умножения на B и действия B на N, другой -- в терминах дифференциалов на B и N, и третий -- в терминах элемента кривизны в CDG-алгебре B. Снабженный суммой этих трех дифференциалов, этот дискретный градуированный левый B-модуль превращается в дискретный левый CDG-модуль Cob~(B,N) над B. Из условия нетеровости слева градуированного кольца B следует, что подлежащий градуированный левый B-модуль этого CDG-модуля является инъективным объектом категории дискретных градуированных левых B-модулей. Имеется естественный замкнутый морфизм дискретных левых CDG-модулей N → Cob~(B,N) над B, конус которого является коацикличным дискретным левым CDG-модулем над B.
(Продолжение следует.)
