![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПродолжение серии сентябрьских постингов http://posic.livejournal.com/1106295.html , http://posic.livejournal.com/1109490.html , http://posic.livejournal.com/1114558.html и декабрьского постинга http://posic.livejournal.com/1153742.html с сегодняшним Update'ом.
Пусть C и D -- две коассоциативные коалгебры с коединицами над одним и тем же полем k. Конечный комплекс C-D-бикомодулей B над k называется дедуализирующим комплексом для пары коалгебр C и D, если
- B имеет конечную проективную размерность как комплекс над C-comod и как комплекс над comod-D;
- естественные отображения C* → RHomDop(B,B) и D* → RHomC(B,B) являются (квази)изоморфизмами;
- коалгебра С кокогерентна слева, коалгебра D кокогерентна справа, и бикомодули когомологий комплекса B являются конечно копредставимыми левыми C-комодулями и конечно копредставимыми правыми D-комодулями.
Теорема. Для любого (в обозначениях препринта Contraherent cosheaves) символа * = b, +, −, ∅, abs+, abs− или abs, производные функторы RHomC(B,−) и B⊙LD− задают эквивалентность "обычных" производных категорий D*(C-comod) и D*(D-contra) левых C-комодулей и левых D-контрамодулей.
Доказательство: согласно результатам постинга по последней четвертой ссылке выше, достаточно показать, что морфизмы сопряжения Homk(D,V) → RHomC(B, B⊙LDHomk(D,V)) = RHomC(B,B⊗kV) и B⊙LDHomk(B,V) = B⊙LD RHomC(B,С⊗kV) → С⊗kV являются квазиизоморфизмами для любого k-векторного пространства V.
В случае первого отображения, обозначим через B → J квазиизоморфизм между комплексом С-комодулей B и некоторым ограниченным снизу комплексом конечно копорожденных инъективных левых C-комодулей J. Достаточно показать, что квазиизоморфизмом является композиция Homk(D,V) → RHomC(B,B⊗kV) → RHomC(B,J⊗kV) = HomC(B,J⊗kV).
Пусть E -- конечномерная подкоалгебра в C. Тогда комплекс HomC(B,J) изоморфен проективному пределу комплексов HomE(EB,EJ) по всем E ⊂ C, где EX обозначает максимальный подкомодуль левого C-комодуля X, являющийся комодулем над E. При этом HomE(EB,EJ) -- ограниченный снизу комплекс проконечномерных векторных пространств.
Отображение D* → limprojE HomE(EB,EJ) является квазиизоморфизмом комплексов проконечномерных векторных пространств. Интересующий нас морфизм комплексов есть морфизм пополненных в известом смысле тензорных произведений комплексов проконечномерных векторных пространств на дискретное векторное пространство V, индуцированный этим квазиизоморфизмом -- и следовательно, тоже квазиизоморфизм.
В случае второго отображения, обозначим через B → J квазиизоморфизм между комплексом D-комодулей B и некоторым ограниченным снизу комплексом конечно копорожденных инъективных правых D-комодулей J. Достаточно показать, что квазиизоморфизмом является композиция B⊙DHomk(J,V) = B⊙LDHomk(J,V) → B⊙LDHomk(B,V) → С⊗kV.
Обе стороны сквозного отображения коммутируют с направленными индуктивными пределами в аргументе V, так что достаточно рассмотреть случай V = k. Переходя к двойственным векторным пространствам с обеих сторон отображения и вспоминая правило, связывающее контратензорное произведение и контрамодульные гомоморфизмы, а также условие теоремы, остается заметить, что естественное отображение HomD(B,J) → HomD(J*,B*) является изоморфизмом комплексов.
Теорема доказана.
Пусть C и D -- две коассоциативные коалгебры с коединицами над одним и тем же полем k. Конечный комплекс C-D-бикомодулей B над k называется дедуализирующим комплексом для пары коалгебр C и D, если
- B имеет конечную проективную размерность как комплекс над C-comod и как комплекс над comod-D;
- естественные отображения C* → RHomDop(B,B) и D* → RHomC(B,B) являются (квази)изоморфизмами;
- коалгебра С кокогерентна слева, коалгебра D кокогерентна справа, и бикомодули когомологий комплекса B являются конечно копредставимыми левыми C-комодулями и конечно копредставимыми правыми D-комодулями.
Теорема. Для любого (в обозначениях препринта Contraherent cosheaves) символа * = b, +, −, ∅, abs+, abs− или abs, производные функторы RHomC(B,−) и B⊙LD− задают эквивалентность "обычных" производных категорий D*(C-comod) и D*(D-contra) левых C-комодулей и левых D-контрамодулей.
Доказательство: согласно результатам постинга по последней четвертой ссылке выше, достаточно показать, что морфизмы сопряжения Homk(D,V) → RHomC(B, B⊙LDHomk(D,V)) = RHomC(B,B⊗kV) и B⊙LDHomk(B,V) = B⊙LD RHomC(B,С⊗kV) → С⊗kV являются квазиизоморфизмами для любого k-векторного пространства V.
В случае первого отображения, обозначим через B → J квазиизоморфизм между комплексом С-комодулей B и некоторым ограниченным снизу комплексом конечно копорожденных инъективных левых C-комодулей J. Достаточно показать, что квазиизоморфизмом является композиция Homk(D,V) → RHomC(B,B⊗kV) → RHomC(B,J⊗kV) = HomC(B,J⊗kV).
Пусть E -- конечномерная подкоалгебра в C. Тогда комплекс HomC(B,J) изоморфен проективному пределу комплексов HomE(EB,EJ) по всем E ⊂ C, где EX обозначает максимальный подкомодуль левого C-комодуля X, являющийся комодулем над E. При этом HomE(EB,EJ) -- ограниченный снизу комплекс проконечномерных векторных пространств.
Отображение D* → limprojE HomE(EB,EJ) является квазиизоморфизмом комплексов проконечномерных векторных пространств. Интересующий нас морфизм комплексов есть морфизм пополненных в известом смысле тензорных произведений комплексов проконечномерных векторных пространств на дискретное векторное пространство V, индуцированный этим квазиизоморфизмом -- и следовательно, тоже квазиизоморфизм.
В случае второго отображения, обозначим через B → J квазиизоморфизм между комплексом D-комодулей B и некоторым ограниченным снизу комплексом конечно копорожденных инъективных правых D-комодулей J. Достаточно показать, что квазиизоморфизмом является композиция B⊙DHomk(J,V) = B⊙LDHomk(J,V) → B⊙LDHomk(B,V) → С⊗kV.
Обе стороны сквозного отображения коммутируют с направленными индуктивными пределами в аргументе V, так что достаточно рассмотреть случай V = k. Переходя к двойственным векторным пространствам с обеих сторон отображения и вспоминая правило, связывающее контратензорное произведение и контрамодульные гомоморфизмы, а также условие теоремы, остается заметить, что естественное отображение HomD(B,J) → HomD(J*,B*) является изоморфизмом комплексов.
Теорема доказана.
