![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПродолжение серии постингов http://posic.livejournal.com/1109490.html и далее по ссылкам.
Теперь мы можем закончить определение антидуализирующего комплекса C-D-бикомодулей, начатое в десятом постинге http://posic.livejournal.com/1106295.html . Нужно предполагать, что коалгебра C конетерова (или, хотя бы, кокогерентна) слева, а D -- справа; и тогда бикомодули когомологий комплекса B должны быть конечно копорожденными (соотв., конечно копредставимыми) левыми C-комодулями, и одновременно-независимо удовлетворять тому же условию, как правые D-комодули. Лемма из предыдущего постинга (по верхней ссылке) позволяет сравнить это условие с условием конечности на антидуализирующий комплекс квазикогерентных пучков кручения, обсуждавшимся в девятом постинге http://posic.livejournal.com/1105166.html .
****
Заключение
Таким образом, можно предположить, что производное ко-контра соответствие возникает в следующих четырех элементарных ситуациях (из которых, как из кубиков, составляются более сложные смешанные/относительные варианты; см. также обсуждение в шестом http://posic.livejournal.com/1101059.html , пятом и первом постингах этой серии):
- для эквивалентности между ко- и контрапроизводными категориями модулей Dco(A-mod) и Dctr(B-mod) нужен дуализирующий комплекс бимодулей над парой колец (A,B)
- между ко- и контрапроизводными категориями комодулей и контрамодулей Dco(C-comod) и Dctr(C-contra) над коалгеброй C над полем k имеется естественная эквивалентность; сама коалгебра С выступает в роли дуализирующего комплекса бикомодулей над собой
- для эквивалентности между обычными производными категориями ко- и контрамодулей D(C-comod) и D(D-contra) нужен антидуализирующий комплекс бикомодулей над парой коалгебр (C,D)
- между D(A-mod) и D(A-mod) имеется тождественная эквивалентность; само кольцо A выступает в роли антидуализирующего комплекса бимодулей над собой.
Можно говорить, условно, что нелинейный алгебраический или геометрический объект, с которым связана абелева или точная категория линейных модульных объектов (или пара таких категорий) -- "является кольцом", если если соответствующая версия ко-контра соответствия связывает обычные производные категории этих двух модульных категорий, -- или, что такой нелинейный алгебраический/геометрический объект "является коалгеброй", если в ко-контра соответствии участвуют производные категории второго рода (ко- и контрапроизводные категории) рассматриваемых модульных категорий. Различие в такой форме, конечно, содержательно только в том случае, когда возникающие модульные категории имеют бесконечную (или, хотя бы, не заведомо конечную) гомологическую размерность.
Тогда можно сказать, что выбор дуализирующего комплекса (би)модулей "превращает кольцо в коалгебру", а выбор антидуализирующего комплекса (би)комодулей "превращает коалгебру в кольцо". Странноватая терминология эта, конечно, имеет целью постановку вопроса о классификации геометрических объектов на кольца и коалгебры -- вопроса, размышления над которым еще весной 2009 года http://posic.livejournal.com/289487.html привели меня к постановке задачи http://posic.livejournal.com/290276.html , http://posic.livejournal.com/365249.html об определении того, что с апреля 2012 http://posic.livejournal.com/2012/04/07/ стало называться контрагерентными копучками.
В чем же состоит ответ? Прежде всего, имеется некоторое пересечение -- объекты алгебраической геометрии, способные выступать, на выбор, как в роли "колец", так и в роли "коалгебр" в вышеописанном смысле. До недавнего времени я думал, что это пересечение составляют нетеровы схемы (о чем свидетельствуют две теоремы в разделе 5.8 препринта http://arxiv.org/abs/1209.2995v4 ). Главный результат этой серии постингов состоит в том, что в пересечении лежат, по большому счету, все нетеровы формальные схемы. Как обычные производные категории, так и производные категории второго рода квазикогерентных пучков кручения и контрагерентных копучков контрамодулей на разумной нетеровой формальной схеме, вероятно, эквивалентны; просто для построения этих двух эквивалентностей нужны немного разные дополнительные данные ("антидуализирующий комплекс" в первом случае и "дуализирующий" во втором).
Теперь мы можем закончить определение антидуализирующего комплекса C-D-бикомодулей, начатое в десятом постинге http://posic.livejournal.com/1106295.html . Нужно предполагать, что коалгебра C конетерова (или, хотя бы, кокогерентна) слева, а D -- справа; и тогда бикомодули когомологий комплекса B должны быть конечно копорожденными (соотв., конечно копредставимыми) левыми C-комодулями, и одновременно-независимо удовлетворять тому же условию, как правые D-комодули. Лемма из предыдущего постинга (по верхней ссылке) позволяет сравнить это условие с условием конечности на антидуализирующий комплекс квазикогерентных пучков кручения, обсуждавшимся в девятом постинге http://posic.livejournal.com/1105166.html .
****
Заключение
Таким образом, можно предположить, что производное ко-контра соответствие возникает в следующих четырех элементарных ситуациях (из которых, как из кубиков, составляются более сложные смешанные/относительные варианты; см. также обсуждение в шестом http://posic.livejournal.com/1101059.html , пятом и первом постингах этой серии):
- для эквивалентности между ко- и контрапроизводными категориями модулей Dco(A-mod) и Dctr(B-mod) нужен дуализирующий комплекс бимодулей над парой колец (A,B)
- между ко- и контрапроизводными категориями комодулей и контрамодулей Dco(C-comod) и Dctr(C-contra) над коалгеброй C над полем k имеется естественная эквивалентность; сама коалгебра С выступает в роли дуализирующего комплекса бикомодулей над собой
- для эквивалентности между обычными производными категориями ко- и контрамодулей D(C-comod) и D(D-contra) нужен антидуализирующий комплекс бикомодулей над парой коалгебр (C,D)
- между D(A-mod) и D(A-mod) имеется тождественная эквивалентность; само кольцо A выступает в роли антидуализирующего комплекса бимодулей над собой.
Можно говорить, условно, что нелинейный алгебраический или геометрический объект, с которым связана абелева или точная категория линейных модульных объектов (или пара таких категорий) -- "является кольцом", если если соответствующая версия ко-контра соответствия связывает обычные производные категории этих двух модульных категорий, -- или, что такой нелинейный алгебраический/геометрический объект "является коалгеброй", если в ко-контра соответствии участвуют производные категории второго рода (ко- и контрапроизводные категории) рассматриваемых модульных категорий. Различие в такой форме, конечно, содержательно только в том случае, когда возникающие модульные категории имеют бесконечную (или, хотя бы, не заведомо конечную) гомологическую размерность.
Тогда можно сказать, что выбор дуализирующего комплекса (би)модулей "превращает кольцо в коалгебру", а выбор антидуализирующего комплекса (би)комодулей "превращает коалгебру в кольцо". Странноватая терминология эта, конечно, имеет целью постановку вопроса о классификации геометрических объектов на кольца и коалгебры -- вопроса, размышления над которым еще весной 2009 года http://posic.livejournal.com/289487.html привели меня к постановке задачи http://posic.livejournal.com/290276.html , http://posic.livejournal.com/365249.html об определении того, что с апреля 2012 http://posic.livejournal.com/2012/04/07/ стало называться контрагерентными копучками.
В чем же состоит ответ? Прежде всего, имеется некоторое пересечение -- объекты алгебраической геометрии, способные выступать, на выбор, как в роли "колец", так и в роли "коалгебр" в вышеописанном смысле. До недавнего времени я думал, что это пересечение составляют нетеровы схемы (о чем свидетельствуют две теоремы в разделе 5.8 препринта http://arxiv.org/abs/1209.2995v4 ). Главный результат этой серии постингов состоит в том, что в пересечении лежат, по большому счету, все нетеровы формальные схемы. Как обычные производные категории, так и производные категории второго рода квазикогерентных пучков кручения и контрагерентных копучков контрамодулей на разумной нетеровой формальной схеме, вероятно, эквивалентны; просто для построения этих двух эквивалентностей нужны немного разные дополнительные данные ("антидуализирующий комплекс" в первом случае и "дуализирующий" во втором).
