![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПродолжение серии постингов http://posic.livejournal.com/1105166.html и т.д.
Остается обсудить вопрос об построении эквивалентности между обычными призводными категориями комодулей и контрамодулей D(C-comod) и D(D-contra) (или, в коммутативном случае, D(C-comod) и D(C-contra)), поставленный в шестом постинге http://posic.livejournal.com/1101059.html
Естественной общностью здесь был бы, наверное, случай двух коколец C и D над одним и тем же кольцом A, но как должно выглядеть соответствующее определение антидуализирующего комплекса, я пока совсем плохо понимаю. Небезынтересен и случай пары полуалгебр S и T над коалгебрами C и D, но и он требует отдельных размышлений тоже. Видимо, лучше начать с простейшего случая двух коалгебр C и D над полем k.
Попробуем сформулировать подходящее определение антидуализирующего комплекса:
- B должен быть конечным комплексом C-D-бикомодулей над k
- имеющим конечную проективную размерность как комплекс над C-comod и как комплекс над comod-D
- естественные отображения C* → EndD(comod-D)(B) и D* → EndD(C-comod)(B) являются изоморфизмами градуированных колец
- самое неочевидное: условие конечности (соответствующее требованию когерентности когомологий дуализирующего комплекса на схеме).
Касательно последнего: тут самое время вспомнить, что обычное определение дуализирующего комплекса над кольцом или парой колец требует нетеровости или, хотя бы, когерентности этих колец. Липман писал что-то про обобщения двойственности Гротендика на ненетеровы схемы; следовало бы заглянуть туда и посмотреть, насколько (не)разрешимой оказывается эта задача. Ориентируясь пока что на обобщение стандартной нетеровой теории, можно предложить такое определение конетеровой коалгебры (см. следующий постинг).
Остается обсудить вопрос об построении эквивалентности между обычными призводными категориями комодулей и контрамодулей D(C-comod) и D(D-contra) (или, в коммутативном случае, D(C-comod) и D(C-contra)), поставленный в шестом постинге http://posic.livejournal.com/1101059.html
Естественной общностью здесь был бы, наверное, случай двух коколец C и D над одним и тем же кольцом A, но как должно выглядеть соответствующее определение антидуализирующего комплекса, я пока совсем плохо понимаю. Небезынтересен и случай пары полуалгебр S и T над коалгебрами C и D, но и он требует отдельных размышлений тоже. Видимо, лучше начать с простейшего случая двух коалгебр C и D над полем k.
Попробуем сформулировать подходящее определение антидуализирующего комплекса:
- B должен быть конечным комплексом C-D-бикомодулей над k
- имеющим конечную проективную размерность как комплекс над C-comod и как комплекс над comod-D
- естественные отображения C* → EndD(comod-D)(B) и D* → EndD(C-comod)(B) являются изоморфизмами градуированных колец
- самое неочевидное: условие конечности (соответствующее требованию когерентности когомологий дуализирующего комплекса на схеме).
Касательно последнего: тут самое время вспомнить, что обычное определение дуализирующего комплекса над кольцом или парой колец требует нетеровости или, хотя бы, когерентности этих колец. Липман писал что-то про обобщения двойственности Гротендика на ненетеровы схемы; следовало бы заглянуть туда и посмотреть, насколько (не)разрешимой оказывается эта задача. Ориентируясь пока что на обобщение стандартной нетеровой теории, можно предложить такое определение конетеровой коалгебры (см. следующий постинг).
