Гомологическая коразмерность
Jan. 23rd, 2014 01:33 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicНижесказанное применимо к любой теории кокручения в точной категории (с достаточным количеством объектов нужных классов), но для определенности, пусть речь идет о плоских модулях и модулях кокручения над ассоциативным кольцом R. Все модули у нас будут левые. Напомним, что R-модуль K называется модулем кокручения, если ExtR>0(F,K) = 0 для всех плоских R-модулей F. (Читатель немного потеряет, если, для простоты, опустит всюду ниже слово "плоский" и одновременно заменит слово "кокручения" на "инъективный".)
Размерностью кокручения R-модуля P называется минимальная длина его правой резольвенты, составленной из R-модулей кокручения, или, что то же самое, максимальное целое d, для которого существует плоский R-модуль F, такой что ExtRd(F,P) ≠ 0. Размерность кокручения ненулевого R-модуля есть неотрицательное целое число или плюс бесконечность. Если максимально возможная проективная размерность плоских R-модулей равна конечному целому D, то размерность кокручения ненулевых R-модулей принимает значения от 0 до D. Ненулевой R-модуль P является модулем кокручения тогда и только тогда, когда его размерность кокручения равна нулю.
Будем называть коразмерностью кокручения R-модуля P минимальное целое c, для которого существует плоский R-модуль F проективной размерности c+1, такой что ExtR>0(F,P) ≠ 0, или, что все равно, существует F как выше, такой что ExtR1(F,P) ≠ 0. Коразмерность кокручения R-модуля есть неотрицательное целое число или плюс бесконечность. Если максимально возможная проективная размерность плоских R-модулей равна конечному целому D, то коразмерность кокручения R-модулей принимает значения от 0 до D−1 или плюс бесконечность. Если все плоские R-модули имеют конечную проективную размерность, то R-модуль P является модулем кокручения тогда и только тогда, когда его коразмерность кокручения равна плюс бесконечности (импликация "только тогда" выполнена в любом случае).
Если 0 → P → K → Q → 0 -- короткая точная последовательность R-модулей, в которой модуль K является модулем кокручения, то размерность кокручения модуля Q на единицу меньше, чем размерность кокручения модуля P, или равна нулю, а коразмерность кокручения модуля Q больше, чем коразмерность кокручения модуля P, или обе они равны бесконечности. Если 0 → P → K1 → K2 → … → Ks → Q → 0 -- точная последовательность R-модулей, в которой модули Ki являются модулями кокручения, то коразмерность кокручения модуля Q больше либо равна s. Если ExtRi(F,P) ≠ 0 для некоторого i > 0, модуль P имеет коразмерность кокручения c, а модуль F плоский (или, хотя бы, имеет плоскую размерность ≤ i−1), то проективная размерность модуля F не меньше c+i. Если 0 → P → E → Q → 0 -- короткая точная последовательность R-модулей, то коразмерность кокручения ccdR(E) модуля E не меньше минимума из ccdR(P) и ccdR(Q), а коразмерность кокручения ccdR(Q) модуля Q не меньше минимума из ccdR(E) и ccdR(P)+1.
Если максимально возможная проективная размерность плоских R-модулей равна конечному целому D, то сумма размерности кокручения и коразмерности кокручения R-модуля P не может быть больше D (если коразмерность кокручения равна бесконечности, ее нужно заменить здесь на D, чтобы неравенство было верно во всех случаях). Но, конечно, сумма размерности и коразмерности кокручения может быть меньше D. (Чтобы построить контрпример, достаточно рассмотреть случай кольца R, являющегося прямой суммой двух колец, для которых максимальные проективные размерности плоских модулей -- оба конечные, но разные числа.)
Размерностью кокручения R-модуля P называется минимальная длина его правой резольвенты, составленной из R-модулей кокручения, или, что то же самое, максимальное целое d, для которого существует плоский R-модуль F, такой что ExtRd(F,P) ≠ 0. Размерность кокручения ненулевого R-модуля есть неотрицательное целое число или плюс бесконечность. Если максимально возможная проективная размерность плоских R-модулей равна конечному целому D, то размерность кокручения ненулевых R-модулей принимает значения от 0 до D. Ненулевой R-модуль P является модулем кокручения тогда и только тогда, когда его размерность кокручения равна нулю.
Будем называть коразмерностью кокручения R-модуля P минимальное целое c, для которого существует плоский R-модуль F проективной размерности c+1, такой что ExtR>0(F,P) ≠ 0, или, что все равно, существует F как выше, такой что ExtR1(F,P) ≠ 0. Коразмерность кокручения R-модуля есть неотрицательное целое число или плюс бесконечность. Если максимально возможная проективная размерность плоских R-модулей равна конечному целому D, то коразмерность кокручения R-модулей принимает значения от 0 до D−1 или плюс бесконечность. Если все плоские R-модули имеют конечную проективную размерность, то R-модуль P является модулем кокручения тогда и только тогда, когда его коразмерность кокручения равна плюс бесконечности (импликация "только тогда" выполнена в любом случае).
Если 0 → P → K → Q → 0 -- короткая точная последовательность R-модулей, в которой модуль K является модулем кокручения, то размерность кокручения модуля Q на единицу меньше, чем размерность кокручения модуля P, или равна нулю, а коразмерность кокручения модуля Q больше, чем коразмерность кокручения модуля P, или обе они равны бесконечности. Если 0 → P → K1 → K2 → … → Ks → Q → 0 -- точная последовательность R-модулей, в которой модули Ki являются модулями кокручения, то коразмерность кокручения модуля Q больше либо равна s. Если ExtRi(F,P) ≠ 0 для некоторого i > 0, модуль P имеет коразмерность кокручения c, а модуль F плоский (или, хотя бы, имеет плоскую размерность ≤ i−1), то проективная размерность модуля F не меньше c+i. Если 0 → P → E → Q → 0 -- короткая точная последовательность R-модулей, то коразмерность кокручения ccdR(E) модуля E не меньше минимума из ccdR(P) и ccdR(Q), а коразмерность кокручения ccdR(Q) модуля Q не меньше минимума из ccdR(E) и ccdR(P)+1.
Если максимально возможная проективная размерность плоских R-модулей равна конечному целому D, то сумма размерности кокручения и коразмерности кокручения R-модуля P не может быть больше D (если коразмерность кокручения равна бесконечности, ее нужно заменить здесь на D, чтобы неравенство было верно во всех случаях). Но, конечно, сумма размерности и коразмерности кокручения может быть меньше D. (Чтобы построить контрпример, достаточно рассмотреть случай кольца R, являющегося прямой суммой двух колец, для которых максимальные проективные размерности плоских модулей -- оба конечные, но разные числа.)
