Лемма Накаямы
Jan. 17th, 2014 10:10 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть T -- ассоциативное кольцо без единицы, такое что для любых элементов t и a ∈ T найдется элемент b ∈ T, удовлетворяющий уравнению a = b − bt. Пусть M -- конечно-порожденный левый T-модуль. Тогда если TM = M, то M = 0.
Доказательство: пусть {mi} -- минимальное по включению конечное множество образующих M. По определению, это означает, что M = ∑i Zmi + ∑i Tmi, откуда, в наших предположениях, M = TM = ∑i Tmi. Покажем от противного, что множество индексов i пусто.
Пусть m0 -- одна из наших образующих; тогда m0 = ∑i timi для некоторых ti ∈ T. Перепишем это равенство в виде m0 − t0m0 = ∑j tjmj (суммирование по j ≠ 0). Согласно условию, для любого a ∈ T найдется b ∈ T, такой что a = b − bt0. Теперь am0 = bm0 − bt0m0 = ∑j btjmj, откуда Tm0 ⊂ ∑j Tmj и M = ∑j Mtj, в противоречие с минимальностью множества образующих mi.
Это называется, примерно, "лемма Накаямы для ассоциативных колец без единицы, совпадающих со своим радикалом Джекобсона, и конечно-порожденных модулей над ними". Ее аналог для контрамодулей над топологическими кольцами, имеющий место без предположения конечной порожденности, играет важную роль в соответствующей теории.
Некоторый недостаток существующей формулировки контрамодульной леммы Накаямы (см. лемму 1.3.1 в препринте Weakly curved A-infinity algebras...) состоит, однако, в том, что она скорее похожа на обычную лемму Накаямы для нильрадикалов дискретных колец, чем для их радикалов Джекобсона. Формулировка по ссылке требует, чтобы топологическое кольцо T было топологически нильпотентным, т.е. всякая окрестность нуля в T содержала TN для достаточно большого натурального N. Нельзя ли придумать вариант контрамодульной леммы Накаямы, больше похожий на вышеприведенную формулировку с радикалом Джекобсона?
Скажем, пусть T -- топологическое ассоциативное кольцо без единицы, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля (последнее условие нужно, чтобы понятие левого T-контрамодуля имело смысл). Допустим, имеется непрерывное отображение β: T × T → T, удовлетворяющее уравнению α = β(α,τ) − β(α,τ)τ для всех τ и α ∈ T. Пусть P -- левый T-контрамодуль, для которого отображение контрадействия T[[P]] → P сюръективно. Следует ли отсюда, что P зануляется?
Или, хотя бы, пусть R -- топологическое ассоциативное кольцо с единицей, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля, T -- замкнутый двусторонний идеал в R, σ: T → R -- непрерывное отображение, переводящее элемент t ∈ T в (1−t)−1 ∈ R. Пусть P -- левый R-контрамодуль, для которого отображение контрадействия T[[P]] → P сюръективно; можно ли утверждать, что P = 0 ? Или на топологическое кольцо R с идеалом T нужно наложить какое-то другое условие "джекобсоновской радикальности", отличающееся от существования и непрерывности σ ?
Ранее на ту же тему: http://posic.livejournal.com/191812.html , http://posic.livejournal.com/107398.html
03.02.14 - Update: что-то странное все же написано в этом постинге. Например, вышеописанным условиям "существования и непрерывности отображения β или σ" удовлетворяет любое дискретное ассоциативное кольцо с его радикалом Джекобсона. Контрамодули над дискретным кольцом суть просто обычные модули. Очевидно, в такой ситуации лемма Накаямы может быть выполнена только для конечно-порожденных (контра)модулей.
С другой стороны, если пытаться придумать версию леммы Накаямы специально для конечно-порожденных контрамодулей, то нужно прежде всего иметь в виду, что всякий конечно-порожденный контрамодуль является в то же время и конечно-порожденным модулем (поскольку конечно-порожденный свободный контрамодуль совпадает со свободным модулем с теми же образующими). При этом не всякий конечно-порожденный модуль допускает структуру контрамодуля. Так что условие на топологическое кольцо (или замкнутый идеал в топологическом кольце) должно быть не сильнее, но слабее обычного джекобсонова условия на подлежащее абстрактное кольцо (с забытой топологией).
Доказательство: пусть {mi} -- минимальное по включению конечное множество образующих M. По определению, это означает, что M = ∑i Zmi + ∑i Tmi, откуда, в наших предположениях, M = TM = ∑i Tmi. Покажем от противного, что множество индексов i пусто.
Пусть m0 -- одна из наших образующих; тогда m0 = ∑i timi для некоторых ti ∈ T. Перепишем это равенство в виде m0 − t0m0 = ∑j tjmj (суммирование по j ≠ 0). Согласно условию, для любого a ∈ T найдется b ∈ T, такой что a = b − bt0. Теперь am0 = bm0 − bt0m0 = ∑j btjmj, откуда Tm0 ⊂ ∑j Tmj и M = ∑j Mtj, в противоречие с минимальностью множества образующих mi.
Это называется, примерно, "лемма Накаямы для ассоциативных колец без единицы, совпадающих со своим радикалом Джекобсона, и конечно-порожденных модулей над ними". Ее аналог для контрамодулей над топологическими кольцами, имеющий место без предположения конечной порожденности, играет важную роль в соответствующей теории.
Некоторый недостаток существующей формулировки контрамодульной леммы Накаямы (см. лемму 1.3.1 в препринте Weakly curved A-infinity algebras...) состоит, однако, в том, что она скорее похожа на обычную лемму Накаямы для нильрадикалов дискретных колец, чем для их радикалов Джекобсона. Формулировка по ссылке требует, чтобы топологическое кольцо T было топологически нильпотентным, т.е. всякая окрестность нуля в T содержала TN для достаточно большого натурального N. Нельзя ли придумать вариант контрамодульной леммы Накаямы, больше похожий на вышеприведенную формулировку с радикалом Джекобсона?
Скажем, пусть T -- топологическое ассоциативное кольцо без единицы, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля (последнее условие нужно, чтобы понятие левого T-контрамодуля имело смысл). Допустим, имеется непрерывное отображение β: T × T → T, удовлетворяющее уравнению α = β(α,τ) − β(α,τ)τ для всех τ и α ∈ T. Пусть P -- левый T-контрамодуль, для которого отображение контрадействия T[[P]] → P сюръективно. Следует ли отсюда, что P зануляется?
Или, хотя бы, пусть R -- топологическое ассоциативное кольцо с единицей, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля, T -- замкнутый двусторонний идеал в R, σ: T → R -- непрерывное отображение, переводящее элемент t ∈ T в (1−t)−1 ∈ R. Пусть P -- левый R-контрамодуль, для которого отображение контрадействия T[[P]] → P сюръективно; можно ли утверждать, что P = 0 ? Или на топологическое кольцо R с идеалом T нужно наложить какое-то другое условие "джекобсоновской радикальности", отличающееся от существования и непрерывности σ ?
Ранее на ту же тему: http://posic.livejournal.com/191812.html , http://posic.livejournal.com/107398.html
03.02.14 - Update: что-то странное все же написано в этом постинге. Например, вышеописанным условиям "существования и непрерывности отображения β или σ" удовлетворяет любое дискретное ассоциативное кольцо с его радикалом Джекобсона. Контрамодули над дискретным кольцом суть просто обычные модули. Очевидно, в такой ситуации лемма Накаямы может быть выполнена только для конечно-порожденных (контра)модулей.
С другой стороны, если пытаться придумать версию леммы Накаямы специально для конечно-порожденных контрамодулей, то нужно прежде всего иметь в виду, что всякий конечно-порожденный контрамодуль является в то же время и конечно-порожденным модулем (поскольку конечно-порожденный свободный контрамодуль совпадает со свободным модулем с теми же образующими). При этом не всякий конечно-порожденный модуль допускает структуру контрамодуля. Так что условие на топологическое кольцо (или замкнутый идеал в топологическом кольце) должно быть не сильнее, но слабее обычного джекобсонова условия на подлежащее абстрактное кольцо (с забытой топологией).
