Есть известный тезис, что целые числа похожи на многочлены от одной переменной с коэффициентами в поле, особенно если "поле" пробегает все конечные поля. Можно ли как-нибудь формализовать этот тезис в рамках математической логики?

Я могу рассмотреть язык теории колец, т.е. один сорт переменных "элементы кольца", бинарные операции "сложение", "вычитание", "умножение", константы "ноль" и "единица". Рассмотреть в этом языке все формулы, истинные во всех кольцах k[x], где k -- (конечное) поле. И задаться вопросом, истинны ли все такие формулы в кольце Z.

Проблема в том, что ответ очевидно отрицательный. Глупейшее утверждение "или 1+1=0, или 1+1+1=0, или существуют три попарно различных обратимых элемента" выполнено во всех кольцах k[x], но не в Z.

Можно ли как-то разумно ограничить класс рассматриваемых формул, так чтобы любая формула из этого класса, истинная во всех k[x], была истинна в Z, и при этом класс формул был достаточно богатым, чтобы включать всякие содержательные алгебраические утверждения?

Ниже следует комментарий к препринту А.Л. про пучки Ходжа-Тейта (что лежит на сервере Института Макса Планка) + моей заметке про кошулевость алгебры замкнутых форм (что лежит в Архиве).

Пусть A = ⊕ A_nⁱ -- положительно внутренне градуированная DG-алгебра над полем k с дифференциалом d, повышающим на единицу когомологическую градуировку i и не меняющим внутреннюю градуировку n. Слова "положительно внутренне градуированная" означают, что A_n = 0 при n<0 и A₀ = k.

Предположим, что когомологии H(A) сосредоточены на объединении двух диагоналей i=1 и i=n. Скажем даже точнее, что имеется гомоморфизм биградуированных алгебр из H(A) в положительно градуированную алгебру Z над k, помещенную в диагональную биградуировку. Ядро этого гомоморфизма сосредоточено в когомологической градуировке i=1. Предположим дополнительно, что алгебра Z кошулева.

Рассмотрим приведенную бар-конструкцию алгебры A; это некоторая положительно внутренне градуированная DG-коалгебра C. Утверждается, что в предположениях выше когомологии H(C) сосредоточены в когомологической градуировке 0. Коалгебра H⁰(C), как внутренне градуированная (или просто конильпотентная) коалгебра, косвободно копорождена своей факторкоалгеброй, квадратично двойственной к кошулевой алгебре Z, и набором косвободных градуированных кообразующих, соответствующих базису ядра отображения из H(A) в Z, рассматриваемого как внутренне градуированное векторное пространство.

Таким образом, в частности, квадратичная часть коалгебры H⁰(C) совпадает с ее частью, копорожденной ее компонентой (внутренней) градуировки 1 и кошулева. Эта часть не совпадает со всей H⁰(С), если только H(A) не лежит на самом деле на диагонали. Квадратичная часть H⁰(С) косвободно порождена коалгеброй, квадратично двойственной к Z, и набором косвободных кообразующих, соответствующих базису ядра отображения из H¹(A₁) в Z₁.

Доказательство: рассмотреть спектральную последовательность, сходящуюся от когомологий бар-конструкции биградуированной алгебры H(A) к когомологиям бар-конструкции A.

Пусть k -- коммутативное кольцо и C -- k-линейная DG-категория. Предположим, что для каждой k-линейной DG-категории D с гомотопически k-плоскими комплексами морфизмов нам дана производная категория DG-модулей над D⊗_kC, совершенных вдоль по C для каждого фиксированного объекта из D, рассматриваемая как k-линейная аддитивная категория с функтором сдвига. Предположим далее, что для каждого k-линейного DG-функтора D' → D'' между DG-категориями D как выше задан индуцированный функтор между производными категориями DG-модулей как выше (тот или те из них, которые всегда имеются -- это нужно посмотреть). Можно ли по этим данным восстановить класс DG-эквивалентности k-линейной DG-категории C?

Вполне возможно, что ответ на этот вопрос несложен или известен, я просто ничего про это не знаю, кроме того, что подобного рода вопрос всегда казался мне естественной отправной точкой.

Чему равны (ко)гомологии Хохшильда категории не более чем счетномерных векторных пространств над полем k? Неформально, такое ощущение, что

1. Гомологии Хохшильда состоят из следов, и бесконечномерность убивает все следы, так что гомологии Хохшильда такой категории должны быть равны нулю.

2. Когомологии Хохшильда суть, примерно, центр, а он у категории бесконечномерных пространств вполне себе есть, так что когомологии Хохшильда такой категории должны быть равны полю k (т.е. они такие же, как для конечномерных пространств).

Это правильно?

Мотивы Тейта с рациональными коэффициентами варьируются в семействах. Здравый смысл и воспоминания о семинарах, посещавшихся в юности, подсказывают, что должен существовать мотивный пучок над G_m (над любым полем F), слой которого над точкой x ∈ G_m есть расширение Z с помощью Z(1), соответствующее элементу x ∈ Ext_F¹(Z,Z(1)) = F*.

Например, мотив первых гомологий G_m со склеенными точками 1 и x может быть искомым расширением, и, очевидно, когда x варьируется, это законное семейство многообразий над x ∈ G_m\1, по крайней мере. (Может быть, это неправильный пример. Будем считать его иллюстрацией меры моей необразованности.)

С конечными коэффициентами Z/n, обратный образ этого мотивного пучка при отображении возведения в n-ю степень G_m → G_m предположительно разваливается в прямую сумму Z/n и Z/n(1). Предположительно, это значит, что интересующий нас мотивный пучок есть под- и факторпучок прямого образа Z/n ⊕ Z/n(1) при отображении возведения x в степень n. Хорошо бы выловить этот объект в моей точной категории мотивных пучков Артина-Тейта.

Если этот пример репрезентативен (а на первый взгляд кажется, что он довольно репрезентативен), он может показывать, что всякий мотивный пучок с артин-тейтовскими слоями артин-тейтовский, когда коэффициенты конечны.

Впрочем нет, должен быть еще другой класс примеров, когда все слои одинаковы, но есть монодромия. Но с конечными коэффициентами монодромия должна быть конечной, так что вывод предположительно тот же самый -- в алгебраическом накрытии вариация тривиализуется. Так?

Новая попытка, после неудачной этой -- http://posic.livejournal.com/502978.html

Рассматривается категория Sm/K гладких многообразий над полем K, снабженная двумя топологиями, этальной и Нисневича. Мы будем рассматривать этальные пучки Z/m-модулей на Sm/K, удовлетворяющие какому-нибудь теоретико-множественному ограничению на мощность (всего сечений меньше, чем какой-то там кардинал). Так, чтобы в этой абелевой категории было достаточно много инъективных объектов.

Пусть F -- такой этальный пучок. Для любого гладкого многообразия X/K, рассмотрим ограничение F на этальный сайт многообразий, этальных над X (строго говоря, это такой прямой образ, но в данном случае он точен). В абелевой категории этальных пучков Z/m-модулей над X, с данным ограничением на мощность, построим комплекс C_F(X), считающий Ext из Z/m в ограничение F. Функтор, сопоставляющий многообразию X комплекс C_F(X), является комплексом предпучков на Sm/K.

Утверждается, что пучковизация Нисневича комплекса предпучков C_F вычисляет производный прямой образ этального пучка F при отображении сайтов Et -> Nis.

( Доказательство )

Задачи гомологической алгебры имеют решения. Поставьте себе задачу гомологической алгебры, разумную (объективно) и интересную (для вас), работайте над ней, и через N десятилетий у вас будет прекрасное решение, устраивающее вас во всех отношениях. Например, задача о неограниченных производных категориях была полностью решена прямо на моих глазах. Задача о правильном утончении структуры триангулированной категории является самым известным на сегодняшний день кандидатом в контрпримеры к моему тезису. Последнее время над ней много работают, и я думаю, что полное решение не за горами.

Важнейшие задачи алгебраической топологии не имеют решений. Надежду и попытки получить полные решения важнейших задач своей науки топологи в последнее время, кажется, вообще оставили. Вместо этого они развивают методы или преодолевают препятствия к естественным конструкциям. Каждый новый метод позволяет отщипнуть еще немножко от краешка неразрешимой проблемы и, в лучшем случае, посмотреть на нее в целом с новой стороны, но он ее не решает. Конкретное препятствие к конструкции можно преодолеть, но вполне естественной формулировки у нее нет и никогда не будет.

Задача о вычислении гомотопических групп сфер сегодня не ближе к своему решению, чем в 1930-х, когда она была поставлена. От нее поотщипывали по краям, и неплохо поотщипывали, это да. Продолжают отщипывать и сейчас. Но я не знаю, чтобы кто-либо из современных специалистов пытался или надеялся ее полностью решить. Модели для спектров изобретаются, и каждая следующая может быть лучше предыдущей, но ответа на вопрос, что такое спектр, кроме как с точностью до гомотопии, нет и, насколько можно судить, не будет. Задача о классификации узлов столь же неразрешима сейчас, как и когда-либо. И т.д.

Зверская конструкция, продиктованная малодушным желанием отсрочить неизбежное, в смысле необходимости изучения науки имени Лурье и Ко.

Постановка задачи: требуется сопоставить каждой малой точной категории Е с парой объектов X, Y комплекс абелевых групп C_E(X,Y) со следующими свойствами.

1. Комплекс C_E(X,Y) контравариантно функториален по X и ковариантно по Y.
2. Точному функтору между точными категориями γ: E → F сопоставлены морфизмы комплексов C_E(X,Y) → C_F(γ(X),γ(Y)), согласованные с композициями функторов γ и с функториальностью из п.1.
3. Трехчленные последовательности комплексов C_E(X,Y), соответствующие точным тройкам по любому из аргументов X,Y, рассматриваемые как бикомплексы с тремя строками, имеют ацикличные тотальные комплексы.
4. Имеются изоморфизмы между когомологиями комплексов C_E(X,Y) и группами Ext по Ионеде между X и Y в точной категории E, согласованные с функториальностями из пп. 1 и 2.

Решение: ( планировался грубый хак, пока что не получился )

Итак, что все-таки теперь утверждается.

Пусть X -- гладкое многообразие над полем F, а m -- простое число, не делящееся на характеристику F. Рассмотрим точную категорию E_X фильтрованных этальных пучков Z/m-модулей над X, присоединенные факторы которых обладают тем свойством, что их слои над схемными точками X суть перестановочные представления групп Галуа полей вычетов этих схемных точек над Z/m, подкрученные на циклотомические этальные пучки в соответствующих тензорных степенях.

Точные тройки в E_X суть последовательности из трех фильтрованных пучков и двух морфизмов между ними, с нулевой композицией, присоединенные факторы которых суть точные тройки этальных пучков над X, расщепимые над каждой схемной точкой X.

На точных категориях E_X действуют точные функторы обратного образа по отношению к произвольным морфизмам гладких многообразий над F и прямого образа с компактным носителем по отношению к квазиконечным морфизмам. Прямые образы с компактным носителем (= продолжения нулем) при замкнутых вложениях и этальных морфизмах сопряжены к обратным образам с положенных (разных) сторон.

В частности, прямой образ с компактным носителем постоянного пучка Z/m с квазиконечного морфизма гладких многообразий Y → X -- это некоторый объект точной категории E_X, сосредоточенный целиком в компоненте фильтрации 0. Кажется, его естественно считать "относительным мотивом когомологий с компактным носителем Y над X".

Чтобы определить относительные мотивы гомологий, нужно сначала понять, что это такое, на уровне (этальных) пучков. Пусть имеется морфизм Y → X; что есть пучок послойных гомологий Y над X? Кажется, естественным кандидатом в такие пучки выглядит пучок на X, двойственный по Вердье к прямому образу постоянного пучка с Y. Или, что то же самое, прямой образ с компактным носителем дуализирующего пучка на Y. Если Y гладко, это отличается от прямого образа с компактным носителем постоянного пучка только гомологическим сдвигом и тейтовской подкруткой.

Если это правильно, то относительные мотивы гомологий Y над X отличаются от определенных выше относительных мотивов когомологий с компактным носителем только гомологическим сдвигом и тейтовской подкруткой на размерность Y. Может быть, лучше использовать относительную размерность Y над X (если X фиксировано).

Подкреплена эта интерпретация пока что в основном наброском вычисления групп Ext в точной категории E_X между тейтовскими мотивами (очевидным образом рассматриваемыми как объекты E_X). Если подумать, то это не так уж мало, хотя и не в каком понятном смысле не достаточно.

Ext из тейтовского мотива, продолженного нулем с этального морфизма, в тейтовский мотив, можно тогда посчитать по сопряженности. То же и Ext из тейтовского мотива в тейтовский мотив, продолженный нулем с замкнутого вложения. Далее, Ext из тейтовского мотива, продолженного нулем с замкнутого вложения, можно посчитать, разложив такой мотив в точный треугольник, включающий продолжение нулем с открытого дополнения. Аналогично для Ext в продолжение нулем с открытого вложения. Наконец, Ext в прямой образ тейтовского мотива при конечном этальном морфизме можно посчитать, пользуясь тензорной структурой и (частично определенной) двойственностью на E_X.

Но вот как считать Ext в продолжение нулем тейтовского мотива с этального морфизма или из прямого образа тейтовского мотива при конечном этальном морфизме на замкнутое подмногообразие, остается непонятным.

В то же время, мы знаем, что ограниченная производная категория E_X порождена тейтовскими подкрутками мотивов многообразий, конечных и этальных над локально замкнутыми подмногообразиями X (см. предыдущий постинг).

Короткий ответ: непонятно.

Длинный ответ: может быть, первое, чему нас должен научить этот сюжет, это то, что подход к гипотезе М.-Б.-К. из нашей с Сашей В. работы 95-го года может/должен применяться не к алгебре Милнора поля, а к алгебре диагональных Ext-ов между мотивами Артина-Тейта, связанными с произвольными (конечными сепарабельными) расширениями этого поля.

Пусть F -- поле, не имеющее алгебраических расширений степени, взаимно-простой с простым числом l, не равным его характеристике. Рассмотрим следующую большую градуированную алгебру/предаддитивную категорию A. Индексы/объекты соответствуют конечным сепарабельным расширениям F. Компонента А, соответствующая паре полей E', E'' над F в градуировке n, есть прямая сумма K^M_n/l от прямых слагаемых разложения E'⊗_FE'' в прямую сумму полей. Это то же самое, что Hom в производной категории мотивов над F с Z/l-коэффициентами между мотивом спектра E' и мотивом спектра E'', подкрученным на (n) и сдвинутым на [n].

Заменим компоненту A₀ (в которой сидят операторы, связанные с действием вложений, трансферов и групп Галуа на милноровской K-теории) на тривиальное большое кольцо A'₀, в котором паре полей E', E'' соответствует группа Z/l, если эти поля совпадают, и 0 иначе. Пусть A' -- большое кольцо, полученное из A такой заменой нулевой компоненты (при сохранении всех компонент положительной градуировки неизменными). Большие кольца A и A' кошулевы одновременно, но для кольца A' легче понять, что кошулевость означает.

Допустим, что отображение символа Галуа/норменного вычета для конечных расширений поля F является изоморфизмом в степени 2 (это теорема Меркурьева-Суслина) и мономорфизмом в степени 3 (с этим сложнее, но так или иначе теперь это уже тоже известно). Тогда если большое кольцо A или A' кошулево, то гипотеза М.-Б.-К. для поля F следует из теоремы в секции 8 статьи про мотивы Артина-Тейта.

Может быть, кошулевость А или A' доказать легче, чем кошулевость K^M(F)/l?