Мотивы Артина-Тейта и расширения базового поля

[posic]

Пусть K ⊂ L ⊂ M -- башня полей, L/K -- конечное расширение, M/K -- расширение Галуа. Пусть k -- кольцо коэффициентов (Z, Q, Z/m, ...) Пусть DM(K,k) и DM(L,k) -- триангулированные категории мотивов над K и L, соответственно, с коэффициентами в k. Предположим, что vanishing conjectures выполнены для мотивов над K с коэффициентами в k. Пусть MAT(K,M,k) и MAT(L,M,k) -- точные подкатегории в DM(K,k) и DM(L,k), порожденные с помощью расширений тейтовски подкрученными мотивами спектров полей, конечных над K (соотв. L) и содержащихся в M. Тогда K(π,1)-гипотеза для MAT(K,M,k) влечет K(π,1)-гипотезу для MAT(L,M,k).

В самом деле, между триангулированными категориями DM(K,k) и DM(L,k) предположительно действуют сопряженные функторы DM(K,k) → DM(L,k) (расширение скаляров, правый сопряженный функтор) и DM(L,k) → DM(K,k) (ограничение скаляров Вейля, левый сопряженный функтор). Эти функторы отображают категории MAT(K,M,k) и MAT(L,M,k) одну в другую. Далее, тензорная двойственность на триангулированных категориях мотивов отображает тейтовски подкрученные мотивы спектров полей в аналогичные объекты с противоположной подкруткой.

Отсюда следует, что k-модули Ext между тейтовски подкрученными мотивами спектров полей в точной категории MAT(L,M,k) можно выразить через k-модули Ext между объектами Тейта k(j) в точных категориях MAT(E,M,k), где E -- поля, конечные над L и содержащиеся в M. А последние можно выразить через k-модули Ext между тейтовски подкрученными мотивами спектров полей в точной категории MAT(K,M,k). То же относится к k-модулям Hom между сдвигами этих объектов в триангулированных категориях DM(K,k) и DM(L,k). Отсюда следует искомое утверждение.

В ситуации конечных коэффициентов, взаимно простых с характеристикой, аналогичное рассуждение применимо к абелевым категориям этальных пучков и точным категориям фильтрованных этальных пучков с подходящими ограничениями на присоединенные факторы, что доставляет более простой способ получить тот же результат.

Лучше бы, конечно, уметь доказывать это без предположения vanishing и без точных категорий, пользуясь языком разложимости Ext-ов/глупых фильтраций.