![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Комплекс, вычисляющий Ext
Зверская конструкция, продиктованная малодушным желанием отсрочить неизбежное, в смысле необходимости изучения науки имени Лурье и Ко.
Постановка задачи: требуется сопоставить каждой малой точной категории Е с парой объектов X, Y комплекс абелевых групп CE(X,Y) со следующими свойствами.
1. Комплекс CE(X,Y) контравариантно функториален по X и ковариантно по Y.
2. Точному функтору между точными категориями γ: E → F сопоставлены морфизмы комплексов CE(X,Y) → CF(γ(X),γ(Y)), согласованные с композициями функторов γ и с функториальностью из п.1.
3. Трехчленные последовательности комплексов CE(X,Y), соответствующие точным тройкам по любому из аргументов X,Y, рассматриваемые как бикомплексы с тремя строками, имеют ацикличные тотальные комплексы.
4. Имеются изоморфизмы между когомологиями комплексов CE(X,Y) и группами Ext по Ионеде между X и Y в точной категории E, согласованные с функториальностями из пп. 1 и 2.
Решение: (грубый хак, пока что не получившийся)
Если ограничиваться точными категориями E, линейными над полем, можно воспользоваться локализацией Дринфельда, что представляет собой несколько менее грубый хак. Локализация Дринфельда DG-категории (скажем, ограниченных) комплексов над E по классу ацикличных комплексов есть DG-категория, в которую бьет аддитивный функтор из E. Точному функтору γ соответствует естественный DG-функтор между локализациями Дринфельда. Достаточно взять за CE(X,Y) комплекс морфизмов между образами X и Y в этой DG-категории. Без условия линейности над полем эта конструкция в общем случае не проходит из-за известной проблемы с условием плоскости в локализации Дринфельда.
Для произвольных точных категорий, предлагается воспользоваться локализацией Келлера. Для любой малой точной категории E имеется естественное точное полное вложение E в категорию ShE точных слева контравариантных функторов из E в абелевы группы. Последняя является абелевой категорией Гротендика, т.е. с точными функторами направленных прямых пределов и множеством образующих (каковыми являются образы объектов из E). Это такая аддитивная теория пучков (отсюда обозначение Sh).
Для любой абелевой категории Гротендика, конструкция Гротендика доставляет функтор (неаддитивный, зависящий от выбранного образующего объекта и некого достаточно большого кардинала), сопоставляющий любому объекту его вложение в инъективный объект. См. статью "О некоторых вопросах гомологической алгебры". Применяя эту конструкцию в категории ShE (с образующим объектом -- прямой суммой образов всех объектов из E), получаем для всякого объекта Y ∈ E его инъективную резольвенту в ShE. Комплекс Hom из объекта X в эту резольвенту будет нашим комплексом CE(X,Y).
Свойства 1 и 3 очевидны; не вполне тривиальна функториальность в 2. Точному функтору γ: E → F сопоставляется пара сопряженных функторов между ShE и ShF. Точный слева функтор "прямого образа пучков" γ*: ShF → ShE есть просто композиция контравариантных точных слева функторов в абелевы группы с функтором γ.
Точный справа функтор "обратного образа пучков" γ*: ShE → ShF сопоставляет функтору H: Eop → Ab точную слева аппроксимацию функтора, сопоставляющего объекту Y из F прямой предел групп H(X) по всем морфизмам Y → &gamma(X). Поскольку существование конечных обратных пределов в E и сохранение их при γ не предполагается, то направленность этого прямого предела, а соответственно и точность функтора γ*, ниоткуда не следуют. Однако легко убедиться, что функтор γ* образует коммутативную диаграмму с функтором γ и естественными вложениями точных категорий E и F в их абелевы оболочки ShE и ShF. Будучи левым сопряженным функтором, функтор γ* коммутирует с прямыми пределами.
Постановка задачи: требуется сопоставить каждой малой точной категории Е с парой объектов X, Y комплекс абелевых групп CE(X,Y) со следующими свойствами.
1. Комплекс CE(X,Y) контравариантно функториален по X и ковариантно по Y.
2. Точному функтору между точными категориями γ: E → F сопоставлены морфизмы комплексов CE(X,Y) → CF(γ(X),γ(Y)), согласованные с композициями функторов γ и с функториальностью из п.1.
3. Трехчленные последовательности комплексов CE(X,Y), соответствующие точным тройкам по любому из аргументов X,Y, рассматриваемые как бикомплексы с тремя строками, имеют ацикличные тотальные комплексы.
4. Имеются изоморфизмы между когомологиями комплексов CE(X,Y) и группами Ext по Ионеде между X и Y в точной категории E, согласованные с функториальностями из пп. 1 и 2.
Решение: (грубый хак, пока что не получившийся)
Если ограничиваться точными категориями E, линейными над полем, можно воспользоваться локализацией Дринфельда, что представляет собой несколько менее грубый хак. Локализация Дринфельда DG-категории (скажем, ограниченных) комплексов над E по классу ацикличных комплексов есть DG-категория, в которую бьет аддитивный функтор из E. Точному функтору γ соответствует естественный DG-функтор между локализациями Дринфельда. Достаточно взять за CE(X,Y) комплекс морфизмов между образами X и Y в этой DG-категории. Без условия линейности над полем эта конструкция в общем случае не проходит из-за известной проблемы с условием плоскости в локализации Дринфельда.
Для произвольных точных категорий, предлагается воспользоваться локализацией Келлера. Для любой малой точной категории E имеется естественное точное полное вложение E в категорию ShE точных слева контравариантных функторов из E в абелевы группы. Последняя является абелевой категорией Гротендика, т.е. с точными функторами направленных прямых пределов и множеством образующих (каковыми являются образы объектов из E). Это такая аддитивная теория пучков (отсюда обозначение Sh).
Для любой абелевой категории Гротендика, конструкция Гротендика доставляет функтор (неаддитивный, зависящий от выбранного образующего объекта и некого достаточно большого кардинала), сопоставляющий любому объекту его вложение в инъективный объект. См. статью "О некоторых вопросах гомологической алгебры". Применяя эту конструкцию в категории ShE (с образующим объектом -- прямой суммой образов всех объектов из E), получаем для всякого объекта Y ∈ E его инъективную резольвенту в ShE. Комплекс Hom из объекта X в эту резольвенту будет нашим комплексом CE(X,Y).
Свойства 1 и 3 очевидны; не вполне тривиальна функториальность в 2. Точному функтору γ: E → F сопоставляется пара сопряженных функторов между ShE и ShF. Точный слева функтор "прямого образа пучков" γ*: ShF → ShE есть просто композиция контравариантных точных слева функторов в абелевы группы с функтором γ.
Точный справа функтор "обратного образа пучков" γ*: ShE → ShF сопоставляет функтору H: Eop → Ab точную слева аппроксимацию функтора, сопоставляющего объекту Y из F прямой предел групп H(X) по всем морфизмам Y → &gamma(X). Поскольку существование конечных обратных пределов в E и сохранение их при γ не предполагается, то направленность этого прямого предела, а соответственно и точность функтора γ*, ниоткуда не следуют. Однако легко убедиться, что функтор γ* образует коммутативную диаграмму с функтором γ и естественными вложениями точных категорий E и F в их абелевы оболочки ShE и ShF. Будучи левым сопряженным функтором, функтор γ* коммутирует с прямыми пределами.