Контрпримерное

[posic]

Над полем k существует коалгебра C, для которой есть конечномерный неприводимый C*-модуль, не являющийся C-комодулем (а значит, раз неприводимый, то и C-контрамодулем не являющийся), тогда и только тогда, когда k конечно. Потому что (счетное) ультрапроизведение копий конечного поля совпадает с ним самим, а бесконечного поля -- бесконечномерно.

Update. Я ошибся; почему собственно речь зашла именно о счетных ультрапроизведениях? Для любого ультрафильтра, аддитивного по отношению к мощности поля k, ультрапроизведение копий k по такому ультрафильтру совпадает с k.

Update 2. http://community.livejournal.com/ru_math/550930.html

Comments

[roma.livejournal.com]

a chto znachit "ul'tra" proizvedenie?

[posic.livejournal.com]

Произведение по (неглавному) ультрафильтру.

Ультрафильтр на множестве X -- это множество U его подмножеств со свойствами: (i) подмножество, содержащее какое-либо подмножество из U, принадлежит U, (ii) пересечение двух подмножеств, принадлежащих U, принадлежит U, (iii) из каждой пары (подмножество, его дополнение) U содержит ровно одно подмножество. Ультрафильтр на X, содержащий те и только те подмножества, которые содержат фиксированный элемент x из X, называется главным ультрафильтром. Из аксиомы выбора следует, что на любом множестве существует неглавный ультрафильтр.

Если k_x -- семейство колец, занумерованных множеством X, и U -- ультрафильтр на X, то ультрапроизведение k_x по U -- это факторкольцо произведения всех k_x по X по следующему отношению эквивалентности: наборы (a_x) и (b_x) эквивалентны, если a_x=b_x для всех x, принадлежащих некоторому подмножеству индексов, принадлежащему ультрафильтру U. Ультрапроизведение семейства полей является полем.

[roma.livejournal.com]

udivitel'noe rjadom...
spasibo!

[(Anonymous)]

zabavnoe sovpadenie -- mne vdrug ni s togo ni s sego skazali (Kazhdan), chto ul'traproizvedenie mozhno primenjat', chtoby vyvodit' utverzhdenija nad poljami nulevoj harakteristiki iz utverzhdenij nad poljami harakteristiki p, potomu chto berja ul'traproizvedenie polej raznyh harakteristik poluchaem pole har-ki nul'. Jakoby tak mozhno dokazat', naprimer, chto polinomial'noe otobrazhenie iz C^n v sebja, javljajuscheesja vlozheniem, javljaetsja takzhe i sjur'ekciej -- potomu chto esli vmesto C vzjat' konechnoe pole, to budet ochevidno.

[roma.livejournal.com]

sorry, eto ja pisal pro otobrazhenie C^n v C^n, zabyl zaloginit'sja

[bbixob.livejournal.com]

nu da, есть мат.логическа характеризация ультрапроизведений. точней, того отношения, когда два алг.стуктуры имеют изоморфные ултьтапроизведения---а именно, когда в них верны одни и те же формулы логические (первого порядка).

[roma.livejournal.com]

Я не вполне понял как применение, о котором писал я, относится к тому о чем говорите вы. В применении идея брать ультрапроизведение полей разных характеристик. Казалось бы, все возникающие структуры
-- поля разных конечных характеристик, и поле хар-ки нуль, возникающее как ультрапроизведение, не изоморфны.

[bbixob.livejournal.com]

you are right, i was being sloppy. there is another theorem, which is in fact much easier ---
a first order sentence is true in the ultraproduct if it is true in all the factors. that's where your application comes from.

and i should have said 'ultrapowers', not 'ultraproducs' ,as is cluer from the context.
(ps: sorry for writing (bad) english--it is faster for me).

[bbixob.livejournal.com]

btw, this application was rather clearly explained in a paper of gromov
where he introduces the word 'surjunctive'.

(is it M. Gromov, Endomorphisms of symbolic algebraic varieties ?)

[roma.livejournal.com]

thanks for the reference! [I did not know Gromov wrote about such things]

[bbixob.livejournal.com]

Для любого ультрафильтра, аддитивного по отношению к мощности поля k, ультрапроизведение копий k по такому ультрафильтру совпадает с k.

Вы уверены? меня это смущает. (под совпадает я понял изоморфно)

[posic.livejournal.com]

Ну смотрите. Пусть X -- множество с каппа-аддидивным ультрафильтром, где каппа превышает мощность поля k. Для любой функции f:X->k и любого элемента a из k обозначим через X_a множество всех x из X, таких что f(x) не равно k. Тогда пересечение X_a пусто, откуда следует, что хотя бы одно из множеств X_a не принадлежит ультрафильтру. Таким образом, функция f совпадает с постоянной функцией a на множестве значений x, принадлежащем ультрафильтру.

А вот раз вы разбираетесь в ультрафильтрах, то вам вопрос. Какую логическую силу имеет утверждение о существовании для любой мощности каппа множества X (неограниченной мощности) вместе с каппа-аддитивным ультрафильтром на нем? Это как существование измеримого кардинала или это доказуемо в ZFC?

[posic.livejournal.com]

множество всех x из X, таких что f(x) не равно a.