![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Философия математики
Есть стандартное противопоставление платонистской и формалистской позиций: изучают ли математики некую объективную реальность мира математических идей, или они выводят следствия из некоторых наборов аксиом. Вопрос может иметь практическое значение, например, в связи с тем, как относиться к доказательствам, использующим компьютерный счет или к попыткам разрешить проблему континуума. Вопрос не решается, поскольку своя доля правды есть в обеих позициях.
Вот другая оппозиция: является ли математика совокупностью теорем и доказательств, или же совокупностью понятий и конструкций? Вопрос может иметь практическое значение, например, в связи с тем, как следует преподавать математику нематематикам. Вопрос, конечно, не решается, поскольку своя доля правды и т.д.
Вот другая оппозиция: является ли математика совокупностью теорем и доказательств, или же совокупностью понятий и конструкций? Вопрос может иметь практическое значение, например, в связи с тем, как следует преподавать математику нематематикам. Вопрос, конечно, не решается, поскольку своя доля правды и т.д.
no subject
Потомъ оказывается, что есть супердетерминанты. Физикъ чешетъ въ затылкѣ и говоритъ: ээээ.... а можно безъ всякихъ объясненій и безъ всякихъ супералгебръ, просто дайте формулу для расчётовъ и всё? Спасибо. Въ результатѣ имѣемъ книги типа Wess-Berger "Суперсимметрія и супергравитація". Читайте, дѣти, и запоминайте всѣ суперъ-матрицы наизусть.
Потомъ, правда, оказывается, что въ возрастѣ 50 лѣтъ уже никакія новыя формулы и новыя понятія въ голову не лѣзутъ.
no subject
no subject
разъ это мультипликативность детерминантовъ была доказана (и доказательство было физиками пропущено) въ начальномъ курсѣ линейной алгебры, этого достаточно. Это и значитъ, что физики не интересуются доказательствами (только фактомъ ихъ наличія).
Мнѣ кажется, что тѣ физики, которыхъ интересуютъ понятія и конструкціи, надѣются потомъ примѣнять эти конструкціи въ вычисленіяхъ. Я тоже отношусь къ такимъ физикамъ.
Ты привёлъ двѣ оппозиціи, но я думаю, что они тѣсно связаны. Я бы переформулировалъ вторую изъ нихъ такъ: Является ли математика наборомъ логически связанныхъ понятій и конструкцій, изобрѣтённыхъ для болѣе глубокого пониманія связей между понятіями, - стремится ли математикъ къ болѣе глубокому пониманію идей; или она является наборомъ опредѣленій и доказанныхъ утвержденій, не важно какихъ и о чёмъ ("Паблосуржикомъ называется вторая производная отъ брынзовѣлости") - стремится ли математикъ доказать какъ можно больше утвержденій, "результатовъ".
no subject
Что такое "хорошая теорема", и что такое "хорошее опредѣленіе"?
Возможные отвѣты:
Хорошее опредѣленіе - такое, къ которому насъ подвела логика предыдущихъ разсужденій, - то-есть мы увидѣли, что намъ будетъ полезно думать объ объектѣ такого-то вида какъ о спеціальномъ понятіи, и мы тогда пишемъ опредѣленіе.
Хорошее опредѣленіе - такое, которое используется во многихъ теоремахъ, которые мы сейчасъ докажемъ.
Хорошая теорема - такая, которая показываетъ, что есть неожиданные и глубокіе связи между раньше извѣстными понятіями или конструкціями, и такая, изъ которой становится ясно, что будетъ дальше.
Хорошая теорема - которая доказана.
no subject
no subject
Можно считать понятия и конструкции частью формулировок и доказательств теорем, а можно считать теоремы и их доказательства иллюстрацией к понятиям и конструкциям. В этом состоит оппозиция.
Мой взгляд на это дело двойственный: мне кажется, что математика состоит из понятий и конструкций, продемонстрировавших свою полезность в деле производства теорем и доказательств. Целью деятельности математиков является получение теорем и доказательств, но самым важным ее продуктом являются понятия и конструкции.
no subject
формалистов, чтобы считать, что вопросы не решаются (я думаю, они решаются, но голосованием :-)).
Скажем, с точки зрения формалиста - большинство людей, получивших Филдса, действительно ли они что-то строго доказали?
no subject
В формализуемости существующих математических доказательств в рамках известных аксиоматических систем (и прежде всего ZFC) мало кто из математиков сомневается; специалистов же по матлогике и основаниям математики, которые бы в этом сомневались, кажется, и вовсе не существует.
no subject
Действительно ли они существуют - это формалистская постановка вопроса. Можно ведь еще спросить - а на практике, полезно ли их считать объективно существующими. («Человек есть мера всех вещей: существующих – в том, что они существуют, и несуществующих – в том, что они не существуют»)
Даже вне математики есть много идей и понятий, которые существуют как бы только в умах, но последствия имеют самые серьезные. Например, деньги. Или джихад.
Казалось бы из этого следует, что нематематикам надо объяснять идеи,
а не формализм. Но наверно иногда важно, чтобы они были способны понимать формализм ("Математику уже затем учить следует..."), а пока их формализму обучишь, оказывается, что отпущенные часы истекли и Шахразаде пора прекратить дозволенные речи.
no subject