Пусть R -- полное, отделимое топологическое кольцо, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля.

1. Как восстановить по категории дискретных правых R-модулей категорию левых R-контрамодулей? В дополнительном предположении, что у R есть счетная база окрестностей нуля, вопрос отчасти обсуждается в нашей статье с Й.Р. Категория сохраняющих копределы функторов discr-R → Ab эквивалентна категории отделимых левых R-контрамодулей. Категория отделимых левых R-контрамодулей, конечно, неабелева, не замкнута относительно коядер вложений, ни даже расширений в абелевой категории всех левых R-контрамодулей, и т.д. Тем не менее, здесь она нам пригодится.

Заметим, что всякий эпиморфизм в категории отделимых левых R-контрамодулей является также эпиморфизмом в категории всех левых R-контрамодулей. Это следует из того, что у всякого ненулевого левого R-контрамодуля есть ненулевой факторконтрамодуль, являющийся отделимым R-контрамодулем (лемма Накаямы). Теперь, проективные левые R-контрамодули отделимы, и мы можем выделить их внутри категории отделимых левых R-контрамодулей как объекты, обладающие свойством подъема по отношению к эпиморфизмам. Наконец, категория всех левых R-контрамодулей восстанавливается по категории своих проективных объектов стандартным образом (как всякая абелева категория с достаточным количеством проективных объектов).

2. Как восстановить по категории левых R-контрамодулей категорию дискретных правых R-модулей? Эта задача в чем-то проще и приятнее предыдущей. Категория discr-R просто эквивалентна категории сохраняющих копределы функторов R-contra → Ab (последняя, таким образом, оказывается абелевой).

В самом деле, такой функтор определяется своим значением на образующем проективном объекте R. Помимо того, что все объекты R-contra получаются из R как коядра морфизмов между копроизведениями, здесь важно также, что в категории абелевых групп морфизм из группы в прямую сумму бесконечного числа ее копий определяется своими проекциями на слагаемые (прямая сумма вкладывается в прямое произведение). Поэтому для восстановления функтора F достаточно знать правый R-модуль F(R).

Вопрос в том, какие правые R-модули можно восстановить до функторов F: R-contra → Ab. Дискретные можно, поскольку есть конструкция контратензорного произведения. Чтобы убедиться, что модуль F(R) обязан быть дискретным, нужно рассмотреть сходящееся к нулю семейство элементов r_x в топологическом кольце R и соответствующий морфизм R → R[[X]] в R-contra. Существование морфизма F(R) → F(R)[X] в категории Ab, имеющего нужные проекции на слагаемые F(R) на правой стороне стрелки, означает, что для любого элемента m ∈ F(R) произведение mr_x должно быть равно нулю для всех, кроме конечного числа, индексов x ∈ X.

2а. Всем хорошо вышеприведенное рассуждение, но остается в нем одна маленькая проблема общетопологического свойства. Пусть m -- элемент из F(R), и пусть U ⊂ R -- множество всех элементов r ∈ R, таких что mr = 0. Мы знаем, что для любого семейства элементов r_x, сходящихся к нулю в топологии R, множество всех индексов x, не принадлежащих U, конечно. Как вывести отсюда, что U является окрестностью нуля в R (т.е., содержит открытую окрестность нуля)?

В случае наличия счетной базы у топологии R, ответ ясен. Но в общем случае?

Отметим, что вопрос этот носит фундаментальный характер по отношению к самому понятию "контрамодуля над топологическим кольцом". Могут ли быть две разные топологии на одном кольце, такие что связанные с ними монады на категории множеств совпадают? В том точном смысле, что совпадают структуры "допустимых семейств" и "операций суммирования", описанные во введении к нашему вышеупомянутому препринту?

Продолжение постингов http://posic.livejournal.com/1282785.html и http://posic.livejournal.com/1282892.html

Лемма 1. Пусть A -- ассоциативное кольцо и С -- коассоциативное кокольцо с коединицей над кольцом A. Тогда забывающий функтор C-comod → A-mod удовлетворяет усвовиям 1)-4) леммы 1 из постинга по второй ссылке выше (так что для любого левого C-комодуля M категория Add(M) эквивалентна категории проективных контрамодулей над подходящим топологическим кольцом).

Доказательство: ни коединица, ни коассоциативность кокольца C роли не играют, как не играет ее и условие коассоциативности рассматриваемых комодулей. Пусть C -- произвольный A-A-бимодуль; обозначим через С-ncomod категорию левых A-модулей M, снабженных произвольным гомоморфизмом левых A-модулей M → C ⊗_A M. Тогда забывающий функтор C-ncomod → A-mod удовлетворяет условиям 1)-4).

В самом деле, условия 1)-3) очевидны. Чтобы проверить 4), достаточно заметить, что для любого (неассоциативного) комодуля K ∈ C-ncomod и любого элемента x ∈ K найдется конечное множество элементов y₁, …, y_n ∈ K, таких что образ элемента x при отображении кодействия K → C ⊗_A K записывается в виде ∑_i=1ⁿ c_i ⊗ y_i, где c_i -- какие-то элементы из C.

Пусть теперь K и L -- два объекта C-ncomod, и пусть g: K → L -- гомоморфизм левых A-модулей между ними. Предположим, что для любого элемента x ∈ K и соответствующих элементов y₁, …, y_n ∈ K найдется морфизм h: K → L в категории C-ncomod, такой что g(x) = h(x) и g(y_i) = h(y_i) для всех i. Тогда в диаграмме, записывающей уравнение совместимости отображения g с левыми C-кодействиями на K и L образы элемента x при двух способах пройти по стрелкам в квадрате совпадают, поскольку они совпадают с его образами при двух способах пройти по стрелкам в аналогичной диаграмме, связанной с отображением h (которые совпадают между собой по предположению). Поэтому g является морфизмом в категории C-ncomod.

Лемма 2. Пусть A -- ассоциативное кольцо, C -- коассоциативное кокольцо над A и S -- C-C-бикомодуль. Обозначим через S-nsimod категорию (обычных коассоциативных коунитальных) левых C-комодулей M, снабженных произвольным морфизмом левых C-комодулей S □_C M → M. Тогда забывающий функтор S-nsimod → A-mod удовлетворяет условиям 1)-4).

Доказательство похоже на доказательство леммы 1. Условия 1)-3) очевидны. Чтобы проверить 4), заметим, что для любого объекта K ∈ S-nsimod и любого элемента p ∈ S □_C K найдется конечное множество элементов y₁, …, y_n ∈ K, таких что образ элемента p при естественном вложении S □_C K → S ⊗_A K записывается в виде ∑_i=1ⁿ s_i ⊗ y_i, где s_i -- какие-то элементы из S.

Пусть теперь K и L -- два объекта S-nsimod, и пусть g: K → L -- гомоморфизм левых A-модулей между ними. Согласно лемме 1, в предположениях условия 4) мы уже знаем, что g -- морфизм левых C-комодулей. Пусть p -- произвольный элемент из S □_C K, и пусть y₁, …, y_n ∈ K -- соответствующие элементы. Обозначим через z образ элемента p при отображении неассоциативного полудействия S □_C K → K.

Предположим, что для элементов y₁, …, y_n и z ∈ K найдется морфизм h: K → L в категории S-nsimod, такой что g(y_i) = h(y_i) для всех i и g(z) = h(z). Тогда в диаграмме, записывающей уравнение совместимости отображения g с левыми S-полудействиями на K и L образы элемента p при двух способах пройти по стрелкам в квадрате совпадают, поскольку они совпадают с его образами при двух способах пройти по стрелкам в аналогичной диаграмме, связанной с отображением h (которые совпадают между собой по предположению). Если это выполнено для всех p, то g является морфизмом в категории S-nsimod.

Что такое формальная схема? Формальная окрестность/формальное пополнение в алгебраической геометрии -- это такой аналог трубчатой окрестности в дифференциальной геометрии. Одно из различий в том, что в алгебраической геометрии нет трубчатых окрестностей конечного радиуса, а есть только бесконечно малого. Другое -- в том, что алгебраический подход дает автоматическую легкость работы с многообразиями с особенностями.

В алгебраической геометрии, пространства описываются кольцами функций на них. Особенно это верно для аффинных многообразий, и мы ограничимся для простоты формальными пополнениями замкнутых подмногообразий аффинных многообразий. Простейший релевантный для нас пример трубчатой окрестности в математике -- это ε-круг с центром в нуле на комплексной плоскости C. Кольцо голоморфных функций на круге {z: |z| < ε} есть кольцо степенных рядов ∑_n=0^∞ a_nzⁿ, где верхний предел lim sup_n→∞ ⁿ√a_n не превосходит 1/ε.

В алгебраической геометрии, вместо поля комплексных чисел у нас произвольное основное поле k, на котором никакой топологии или метрики нет, так что остается только рассматривать "формальные" степенные ряды ∑_n=0^∞ a_nxⁿ, где a_n -- произвольные элементы поля k. Формальная окрестность точки ноль на аффинной прямой A¹_k над полем k -- это условное, в кавычках "множество всех x, настолько малых, что ∑_n^∞ a_nxⁿ сходится для любых a_n ∈ k".

Прежде чем перейти к более интересным примерам формальных пополнений, поговорим просто об аффинных многообразиях. Аффинное алгебраическое многообразие X -- это, примерно, множество нулей системы полиномиальных уравнений f₁(x₁,…,x_n) = … = f_m(x₁,…,x_n) = 0 в n-мерном аффинном пространстве Aⁿ_k над полем k. Аффинным алгебраическим многообразиям над полем k соответствуют конечно-порожденные коммутативные алгебры над k.

Самому аффинному пространству Aⁿ_k соответствует кольцо многочленов k[x₁,…,x_n]. А замкнутому подмногообразию X ⊂ Aⁿ_k, заданному уравнениями f₁, …, f_m, соответствует факторкольцо R = k[x₁,…,x_n]/(f₁,…,f_m) этого кольца многочленов по идеалу, порожденному f₁, …, f_m. Этот идеал состоит из многочленов (= полиномиальных функций на аффинном пространстве Aⁿ_k), зануляющихся на X; а факторкольцо R кольца многочленов по нему -- это кольцо полиномиальных функций на X. Общепринятые обозначения: X = Spec R и R = O(X).

Приведем два примера алгебраических многообразий: один обыкновенный, другой необычный. Обыкновенный пример: одно уравнение на две переменных x³ = y² задает кривую на плоскости с особой точкой типа "касп" в точке (0,0); график ее в вещественных координатах выглядит как такая кривая с возвратной точкой. Соответствующая конечно-порожденная коммутативная алгебра -- это факторкольцо k[x,y]/(x³−y²). Обозначим эту кривую через C = Spec k[x,y]/(x³−y²).

Необычный пример: одно уравнение xⁿ = 0 на одну переменную x задает многообразие Spec k[x]/(xⁿ), которое можно описать условно, в кавычках, как "множество всех x, настолько малых, что xⁿ = 0".

Вернемся теперь к нашей формальной окрестности точки на аффинной прямой. Кольцо k[[x]] тесно связано с последовательностью колец k[x]/(xⁿ), а именно, оно является их, как говорят алгебраисты, "проективным пределом". Вообще, если имеется последовательность алгебраических структур (групп, абелевых групп, колец, ... -- в интересующем нас случае это будет последовательность колец) и отображений между ними, бьющих в обратную сторону

R₁ ← R₂ ← R₃ ← R₄ ← R₅ ← …

то проективным пределом proj lim_n R_n называется множество всех последовательностей элементов (r_n∈R_n)_n∈N, таких что p_n(r_n+1) = r_n для всех n, где p_n обозначает отображение R_n+1 → R_n. Так вот, кольцо k[[x]] есть проективный предел колец k[x]/(xⁿ) с естественными (сюръективными) отображениями между ними.

Теперь, соответствие между пространствами и кольцами функций на них обращает стрелки -- отображению между пространствами в одну сторону соответствует отображение обратного образа функций, бьющее в противоположную сторону. Поэтому проективному пределу колец k[x]/(xⁿ) соответствует то, что называется "индуктивный предел" -- предел по отображениям вперед в последовательности -- соответствующих многообразий. В данном случае, это будет просто объединение.

В результате, пространство, отвечающее кольцу k[[x]] -- оно называется "формальный спектр" и обозначается Spf или Specf k[[x]] -- оказывается объединением ∪_n Spec k[x]/(xⁿ). Таким образом мы получаем (условно, в кавычках) описание формальной окрестности нуля на аффинной прямой как "множества всех x, для которых существует n, такое что xⁿ = 0". Это объясняет, каким образом все ряды ∑_n=0^∞ a_nxⁿ с произвольными коэффициентами из поля k (в том числе, такие, как ∑_n=0^∞ n! xⁿ, например) ухитряются сходиться для таких x.

Рассмотрим теперь более интересные примеры формальных окрестностей. Пусть D обозначает кривую на плоскости, заданную уравнением от двух переменных x²(x+1) = y². Это такая кривая с самопересечением, образующим петлю. Представим себе, что такая кривая нарисована на листе бумаги, и мы вырезали из листа бумаги ножницами узкую полоску вокруг этой кривой (не разрезая саму кривую). Это называется формальной окрестностью кривой D на плоскости A²_k.

Речь идет о множестве точек плоскости (x,y), для которых x²(x+1) − y² приблизительно равно нулю. Следуя подходу, развитому выше, проинтерпретируем последнее условие, по-прежнему в кавычках, как "существует n, такое что (x²(x+1)−y²)ⁿ = 0". Теперь мы можем описать нашу формальную окрестность как формальный спектр соответствующего проективного предела факторколец, Specf proj lim_n k[x,y]/((x²(x+1)−y²)ⁿ).

Мы не будем обсуждать определение того, что значит "формальный спектр" или "формальная схема", оно сложно и не нужно нам здесь. Важно, что мы пришли к кольцу proj lim_n k[x,y]/((x²(x+1)−y²)ⁿ); оно, в отличие от многого предыдущего, имеет вполне корректный строгий смысл (согласно определению проективного предела выше), и оно нам нужно.

Другой пример: вернемся к кривой C, заданной уравнением x³ = y². Нас интересует формальная окрестность особой точки (0,0) внутри этой кривой. Это множество точек плоскости (x,y), для которых x³ − y² = 0 в точности, в то время, как x и у приблизительно равны нулю. Следуя тому же подходу, это пространство описывается как Specf proj lim_n k[x,y]/(x³−y², xⁿ, yⁿ).

Вопрос: почему нельзя просто рассмотреть локализацию кольца функций на кривой C по соответствующему идеалу? Ответ: ну, локализация и пополнение -- это разные кольца. Но геометрически-наглядная разница вот в чем. Представим себе нашу кривую сделанной из куска бесконечно тонкой, бесконечно длинной проволоки. Возьмем ножницы, которыми режут проволоку, и вырежем маленький кусочек вокруг особой точки (0,0). Это пополнение, формальная окрестность точки. А локализация -- это как если взять ту же кривую и повыкидывать из нее одну за другой все точки, кроме (0,0). Точки мы повыкидывали, но кривая "в целом", как бы общий каркас ее, shape, сохраняется при локализации -- но не при пополнении.

Итак, если аффинные алгебраические многообразия соответствуют конечно-порожденным коммутативным алгебрам, то их формальные пополнения (формальные окрестности замкнутых алгебраических подмногообразий в аффинных алгебраических многообразиях) соответствуют адическим пополнениям конечно-порожденных коммутативных алгебр. Адическим пополнением кольца R по идеалу I называется проективный предел R_I^ = lim_n R/Iⁿ.

На кольце R_I^ есть топология: вообще, любой проективный предел (множеств) proj lim_n R_n есть подмножество в декартовом произведении ∏_n R_n; наделив каждое множество R_n дискретной топологией, рассмотрим тихоновскую топологию на их произведении. В этой топологии proj lim_n R_n оказывается замкнутым подмножеством в ∏_n R_n, и мы наделяем это подмножество индуцированной топологией.

Эквивалентным образом, последовательность элементов f_j сходится к элементу f в R_I^, если для любого n существует j₀ такое, что для всех j > j₀ разность f_j − f принадлежит IⁿR_I^.

... Потратив таким образом большую часть отведенного часа на разжевывание формальных схем незнакомой с алгебраической геометрией аудитории, я потом уже довольно быстро и местами несколько скомканно изложил постановку задачи "сопоставить формальной аффинной схеме абелеву категорию модулей":

- в дифференциальной геометрии, с многобразием связывают категорию векторных расслоений на нем;
- в алгебраической геометрии, с многообразием связывают категорию квазикогерентных пучков на нем;
- в частности, в случае аффинного алгебраического многообразия Spec R, категория квазикогерентных пучков -- это просто категория модулей над R

(категория модулей/квазикогерентных пучков даже в чем-то лучше, чем категория векторных расслоений, поскольку является абелевой категорией -- ядра и образы гомоморфизмов и фактормодули по подмодулям в ней определены и ведут себя так же, как в категории абелевых групп (отсюда и термин "абелева"));

- какую же категорию модулей сопоставить формальной аффинной схеме Specf R_I^ ?

и ее возможные решения:

(1) абелева категория R_I^-Mod всех R_I^-модулей слишком большая и не знает про топологию на R_I^ ;

(2) категория R_I^-модулей I-кручения, состоящая из всех R_I^-модулей (или можно просто говорить R-модулей, это ввиду следующего условия все равно) M, для которых для любого m ∈ M найдется натуральное n, для которого Iⁿm = 0 -- хорошая категория модулей на формальной схеме, но, например, само кольцо R_I^ ее объектом не является -- хотелось бы иметь еще категорию, состоящую из модулей, которые ощущаются как "полные", а не "дискретные", и которой принадлежит модуль R_I^;

(3) категория I-адически полных и отделимых R_I^-модулей P, т.е., таких, для которых естественное отображение в проективный предел P → proj lim_n P/IⁿP является изоморфизмом -- как класс или категория модулей, плохо себя ведет -- как подкатегория в R_I^-Mod, не замкнута относительно операции перехода к фактормодулю по подмодулю из того же класса, а сама по себе -- не абелева категория;

(4) категория R_I-контрамодулей определяется на традиционном уже по нынешним временам пути "алгебраизации анализа" как некоторая категория модулей с операциями бесконечного суммирования, подчиненным естественным аксиомам -- эта категория абелева и хорошая.

Определение категории контрамодулей (над кольцом формальных степенных рядов k[[x]]; и далее над произвольным полным, отделимым топологическим кольцом, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля) я растолковал, в очень первом приближении, в конце лекции; но здесь воспроизводить его, пожалуй, уже не буду (см. мой обзор http://arxiv.org/abs/1503.00991 , раздел 2.1, например -- или можно начать с разделов 1.3-1.4 и плюс еще 1.5-1.6).

Метатеорема: все абелевы категории контрамодулей и полуконтрамодулей, играющие заметную роль в полубесконечной книжке, эквивалентны (если угодно, даже изоморфны) категориям контрамодулей над подходящими топологическими ассоциативными кольцами. Более того, соответствущие эквивалентности категорий можно выбрать таким образом, чтобы они образовывали коммутативные диаграммы с забывающими функторами в категории множеств/абелевых групп.

Возможное исключение из метатеоремы: эквивалентность категорий контрамодулей над топологической алгеброй Ли и ее топологической обертывающей алгеброй доказана в полубесконечной книжке только в предположении счетности базы окрестностей нуля в топологической алгебре Ли. Случай категории контрамодулей над топологической алгеброй Ли без счетной базы окрестностей нуля ниже не обсуждается, а обсуждаются случаи контрамодулей над кокольцами и полуконтрамодулей над полуалгебрами над коалгебрами и кокольцами.

Набросок доказательства метатеоремы: известно, что в абелевых категориях контрамодулей над кокольцами и полуконтрамодулей над коалгебрами достаточно много проективных объектов. Ко-контра/полуко-полуконтра соответствие отождествляет категории проективных контрамодулей и полуконтрамодулей с категориями копроективных комодулей и полупроективных полумодулей над соответствующим кокольцом или полуалгеброй. В частности, в категории (полу)контрамодулей имеется выделенный проективный образующий объект, соответствующий комодулю C над коалгеброй C или полумодулю S над полуалгеброй S. Ко-контра/полуко-полуконтра соответствие как раз сопоставляет копроективному C-комодулю M проективный C-контрамодуль Hom_C(C,M) и полупроективному S-полумодулю N проективный S-полуконтрамодуль Hom_S(S,N).

Классы копроективных C-комодулей и полупроективных S-полумодулей замкнуты относительно прямых сумм в абелевых категориях C-comod и S-simod. В абелевых категориях C-contra и S-sicntr также есть бесконечные прямые суммы. Эквивалентности между категориями проективных (полу)контрамодулей и ко/полупроективных ко/полумодулей сохраняют бесконечные прямые суммы. Согласно изложенному во введении к препринту 1512.08119, для установления эквивалентности между абелевой категорией C-контрамодулей или S-полуконтрамодулей и категорией контрамодулей над кольцом Hom_C(C,C) или Hom_S(S,S), снабженным подходящей топологией, достаточно показать, что монада на категории множеств, сопоставляющая множеству X множество всех морфизмов из соответствующего объекта в прямую сумму X его копий Hom_C(C, C^(X)) или Hom_S(S, S^(X)), происходит из некоторой структуры топологического кольца на Hom_C(C,C) или Hom_S(S,S).

Согласно изложенному в серии из двух постингов http://posic.livejournal.com/1260822.html , для этого достаточно проверить, что абелева категория Гротендика C-comod или, соответственно, S-simod является локально слабо конечно-порожденной. Во-первых, пусть S -- полуалгебра над коалгеброй C, и пусть {M_i} -- множество слабо конечно-порожденных образующих категории C-comod. Тогда {S□_CM_i} -- множество слабо конечно-порожденных образующих категории S-simod. Во-вторых, если C -- кокольцо над кольцом A и либо C является проективным правым A-модулем, либо кольцо A нетерово слева, то всякий левый C-комодуль является объединением своих C-подкомодулей, конечно-порожденных как A-модули. Такие C-комодули очевидным образом слабо конечно-порождены как объекты C-comod. Это еще не доказывает заявленных утверждений в полной общности, но покрывает, по крайней мере, случай полуалгебры над коалгеброй над полем (а также над кольцом целых чисел и т.п.)

Чтобы доказать эквивалентность категорий C-contra = Hom_C(C,C)-contra для проективного над A слева и плоского над A справа кокольца C, нужно использовать версию результатов из постинга по ссылке, справедливую в каких-то предположениях, отличающихся от локальной слабой конечно-порожденности абелевой категории.

Пусть A -- DG-алгебра над полем k, когомологически градуированная целыми числами. Предположим, что Hⁱ(A) = 0 для всех i < 0. Существует ли DG-алгебра B, связанная c A цепочкой квазиизоморфизмов DG-алгебр, такая что Bⁱ = 0 для всех i < 0 ?

В замечании 1 в разделе 1.9 мемуара Two kinds of derived categories ... предлагался контпример DG-алгебры A, для которой, якобы, ответ на этот вопрос отрицательный. Вернувшись сейчас, по случаю, к этому вопросу, я вижу, однако, что контрпример тот ошибочный. Там действительно Hⁱ(A) = 0 для i < 0, однако, обозначив через B факторалгебру A по идеалу, порожденному элементами отрицательной когомологической градуировки и их дифференциалами, можно получить DG-алгебру, сосредоточенную в неотрицательных когомологических степенях и квазиизоморфную A.

Вопрос, сформулированный в первом параграфе, таким образом, остается (насколько я знаю) открытым.

Для любого объекта M в аддитивной категории A с произвольными прямыми суммами, обозначим через Add(M) полную подкатегорию в A, состоящую из всех прямых слагаемых прямых сумм копий объекта M.

Теорема. Пусть A -- локально слабо конечно-порожденная абелева категория и M -- произвольный объект в A. Тогда аддитивная категория Add(M) эквивалентна аддитивной категории проективных левых контрамодулей над топологическим кольцом R (построенным в первом постинге этой серии http://posic.livejournal.com/1259548.html ).

Доказательство: ввиду изложения во введении к 1512.08119, нужно показать, что монада T(S) = A(M, M^(S)) на категории множеств изоморфна монаде, связанной с топологическим кольцом R. Естественные отображения из прямых сумм в прямые произведения M^(S) → M^S являются мономорфизмами в категории A согласно предыдущему постингу, так что отображения множеств T(S) → ∏_s∈S T({s}) инъективны.

Опишем образ этого отображения. Если морфизм M → M^S факторизуется через M^(S), то для любого слабо конечно-порожденного подобъекта E ⊂ M композиция E → M^S факторизуется через вложение M^U → M^S для некоторого конечного подмножества U ⊂ S. Обратно, пусть M → M^S -- отображение, обладающее таким свойством по отношению ко всем слабо конечно-порожденным подобъектам E в M. Тогда композиция ⊕_E E → M → M^S факторизуется через вложение M^(S) → M^S, и поскольку ⊕_E E → M -- эпиморфизм, так же факторизуется и отображение M → M^S.

Мы показали, что T(S) как подмножество в ∏_s∈S T({s}) состоит из всех тех семейств элементов кольца R = Т({*}), индексированных множеством S, которые сходятся к нулю в топологии R. Наконец, совсем нетрудно видеть, что отображение суммирования Σ_S: T(S) → R, индуцированное естественным отображением M^(S) → M, есть отображение суммирования сходящихся к нулю семейств элементов в топологии кольца R. Теорема доказана.

(Ср. с доказательством теоремы в последнем разделе 3.6 обзорного препринта "Contramodules".)

Пусть A -- абелева категория с произвольными прямыми суммами и κ -- регулярный кардинал. Объект B из A называется слабо κ-порожденным, если всякий морфизм из B в прямую сумму семейства объектов в A факторизуется через вложение прямой суммы подсемейства мощности, меньшей κ. Всякий факторобъект слабо κ-порожденного объекта слабо κ-порожден.

Категория A называется локально слабо κ-порожденной, если она имеет множество образующих, состоящее из слабо κ-порожденных объектов. Слабо ω-порожденный объект называется слабо конечно-порожденным, и локально слабо ω-порожденная категория называется локально слабо конечно-порожденной.

В локально слабо конечно-порожденной абелевой категории A, для любого семейства объектов M_i, естественное отображение ∐_i M_i → ∏_i M_i инъективно. В самом деле, никакое ненулевое отображение B → ∐_i M_i из слабо конечно-порожденного объекта B не может аннулироваться композицией с ∐_i M_i → ∏_i M_i.

Пусть A -- локально слабо конечно-порожденная абелева категория и M -- произвольный объект в A. Введем на кольце R = Hom_A(M,M)^op следующую топологию: базу окрестностей нуля образуют (правые в R, или левые в Hom) идеалы, состоящие из всех эндоморфизмов, зануляющихся в ограничении на какой-нибудь выбранный слабо конечно-порожденный подобъект в M. Утверждается, что с этой топологией R является полным, отделимым топологическим кольцом.

В самом деле, чтобы проверить, что умножение в R непрерывно в этой топологии, достаточно убедиться, что для любого идеала правого идеала I = Ann(E) ⊂ R, где E ⊂ M -- слабо конечно-порожденный подобъект, и любого элемента r ∈ R, найдется аналогичный открытый идеал J = Ann(F), для которого rJ ⊂ I. Для этого достаточно взять F = Er.

Топология отделима, поскольку всякий эндоморфизм, аннулирующий все слабо конечно-порожденные подобъекты, зануляется. Чтобы показать, что она полна, рассмотрим элемент проективного предела факторгрупп R/Ann(E) по всем слабо конечно-порожденным подобъектам E ⊂ M. Ввиду точной последовательности 0 → Ann(E) = A(M/E,M) → R = A(M,M) → A(E,M), группа R/Ann(E) является подгруппой в A(E,M). Таким образом, элемент проективного предела lim_E R/Ann(E) задает согласованную систему морфизмов f_E: E → M, определенных на всех слабо конечно-порожденных подобъектах в M. Остается показать, что такая система морфизмов продолжается до морфизма h: M → M.

В самом деле, рассмотрим естественный эпиморфизм p: ⊕_E E → M. Согласованная система морфизмов E → M определяет морфизм f: ⊕_E E → M. Требуется показать, что морфизм f аннулирует ядро эпиморфизма p. Пусть b: B → ⊕_E E -- морфизм из слабо конечно-порожденного объекта, аннулирующий эпиморфизм p. Достаточно проверить, что b аннулирует f, т.е. fb = 0.

Морфизм b пропускается через прямую сумму конечного числа объектов E₁, …, E_n. Обозначим через b' соответствующий морфизм B → ⊕_i=1ⁿ E_i. Пусть F -- сумма подобъектов E_i в M; тогда F -- тоже слабо конечно-порожденный подобъект в M. Пусть q обозначает естественный эпиморфизм ⊕_i=1ⁿ E_i → F. Тогда qb' = 0, поскольку pb = 0. Пусть g: ⊕_i=1ⁿ E_i → M обозначает морфизм с компонентами f_Ei. Тогда g = f_Fq, так как система морфизмов (f_E) согласованная. Следовательно, gb' = 0, откуда fb = 0.

Предположим теперь, что категория K обладает тем свойством, что естественное отображение из прямой суммы любого семейства проективных объектов в ней в их прямое произведение инъективно; эквивалентным образом, достаточно потребовать, чтобы прямая сумма любого количества копий объекта P инъективно отображалась в их прямое произведение. Тогда множество всех морфизмов из P в S-индексированную прямую сумму его копий P^(S) вкладывается в множество всех морфизмов из P и S-индексированное прямое произведение его копий P^S. Последнее множество биективно S-индексированному произведению копий множества всех морфизмов P → P. Обозначим множество/кольцо, противоположное к кольцу Hom_K(P,P), через R.

Теперь для любого множества S множество T(S) является подмножеством в R^S. Операция на T-алгебрах, связанная с элементом множества T(S), интерпретируется теперь как операция бесконечного суммирования семейств элементов, индексированных S, с коэффициентами, принадлежащими R. Семейства, коэффициентов из R, для которых в монаде T присутствует такая операция бесконечного суммирования (т.е., S-индексированные семейства элементов из R, принадлежащие подмножеству T(S) ⊂ R^S), мы будем называть T-допустимыми. В интересующей нас ситуации с абелевой категорией K, всякое конечное семейство элементов из R T-допустимо.

Задание абелевой категории K с проективным объектом P (или монады T на категории множеств) с такими свойствами эквивалентно заданию следующего набора данных:

- некоммутативное кольцо R (с единицей);
- для каждого множества S, подмножество (на самом деле R-R-подбимодуль) T-допустимых семейств коэффициентов T(S) ⊂ R^S;
- отображение "суммы всех коэффициентов в семействе" ∑: T(S) → R;

удовлетворяющего следующим условиям:

- все конечные семейства коэффициентов допустимы, т.е., T(S) = R^S для конечных множеств S;
- любое подсемейство допустимого семейства допустимо;
- если семейство r_ij (где множество пар индексов (i,j) отображается произвольным образом в множество индексов i), то семейство сумм ∑_j r_ij (занумерованное множеством индексов i) тоже допустимо;
- сумма сумм ∑_i ∑_j r_ij равна сумме по двухиндексному семейству ∑_i,j r_ij;
- для любого допустимого семейства коэффициентов r_i и любых коэффициентов s_ij, образующих допустимые семейства с индексами j для каждого фиксированного i, семейство произведений r_is_ij допустимо;
- сумма сумм ∑_i r_i ∑_j s_ij равна двухиндексной сумме ∑_i,j r_is_ij.

Из первых четырех условий следует, в частности, что никакой ненулевой элемент кольца R не может повторяться в допустимом семействе коэффициентов больше, чем конечное число раз. Таким образом, мощность множества ненулевых коэффициентов в допустимом семействе не может превосходить мощности кольца R. Из сказанного следует, что всякая абелева категория К с проективной образующей P, такой что отображения из прямых сумм копий P в их прямые произведения инъективны, является локально представимой.

Объекты абелевой категории K описываются как множества X, такие что для любого семейства элементов x_i ∈ X и любого допустимого семейства коэффициентов r_i ∈ R задан элемент ∑_i r_ix_i ∈ X. При этом должны удовлетворяться уравнения, подобные уравнениям из определения контрамодуля в разделе 1.2 статьи про слабо искривленные алгебры.

Естественный класс примеров описанной структуры связан с топологическими кольцами. Для любого полного, отделимого кольца R, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля, можно определить "допустимые семейства коэффициентов" как семейства, сходящиеся к нулю в топологии R, и отображения суммы коэффициентов -- как пределы сумм конечных подсемейств в топологии R. Соответствующая абелева категория K называется категорией левых R-контрамодулей.

Я пока не понимаю, можно ли как-нибудь доказать, что все структуры "допустимых семейств коэффициентов с операцией бесконечной суммы" происходят из топологий на кольце R. Можно попробовать восстановить топологию на R, определив окрестность нуля как такое подмножество, что всякое допустимое семейство попадает внутрь этого подмножества целиком, за исключением конечного множества элементов. Но не видно, откуда можно было бы заключить, что такая топология на R отделима, например.

В развитие постинга http://posic.livejournal.com/1228377.html

Вот еще одна формулировка контрамодульной леммы Накаямы, неожиданным образом не вытекающая из формулировки в постинге по ссылке, но требующая чуть более сложного доказательства.

Пусть R -- полное отделимое топологическое кольцо со счетной базой окрестностей нуля, состоящей из открытых правых идеалов, и пусть J₁, J₂, … -- последовательность замкнутых правых идеалов (или даже просто замкнутых абелевых подгрупп) в R, сходящаяся к нулю в топологии R (т.е., для любая окрестность нуля в R содержит все, кроме конечного числа, идеалы J_n). Пусть P -- левый R-контрамодуль. Тогда если отображения J_n[[P]] → P сюръективны для всех n, то P = 0.

Дело в том, что поскольку идеалы J_n не двусторонние, а только правые, из того, что их последовательность сходится к нулю, нельзя вывести, что последовательность произведений J₁, J₁J₂, J₁J₂J₃, … сходится к нулю в топологии R. Поэтому нужно другое доказательство, или скорее, более деликатный вариант того же доказательства.

Пусть p ∈ P -- произвольный элемент. Выберем последовательность вложенных открытых правых идеалов R ⊃ U₁ ⊃ U₂ ⊃ U₃ ⊃ …, образующих базу окрестностей нуля в R. Пусть n₁ -- такое натуральное число, что J_n1 ⊂ U₁, и пусть p₁ ∈ J_n1[[P]] -- бесконечная формальная линейная комбинация элементов контрамодуля P со сходящейся к нулю в топологии кольца R последовательностью коэффициентов, принадлежащих J_n1, образ которой при отображении контрадействия равен p ∈ P.

В последовательности коэффициентов из J_n1, входящих в бесконечную формальную линейную комбинацию p₁, имеется только конечное число таких, которые не принадлежат открытому правому идеалу U₂. Пусть n₂ -- такое натуральное число, что rJ_n2 ⊂ U₂ для каждого из этого конечного множества коэффициентов r. Пусть p₂ ∈ J_n1[[J_n2[[P]]]] -- какой-нибудь элемент, образ которого при отображении J_n1[[π]], где π обозначает отображение контрадействия R[[P]] → P, равен p₁.

Применив к элементу p₂ отображение "раскрытия скобок" φ_P (умножение в монаде X → R[[X]]), мы получаем элемент группы U₂[[P]]. Это бесконечная формальная линейная комбинация элементов из P с последовательностью коэффициентов, сходящейся к нулю в топологии кольца R, так что среди этих коэффициентов имеется только конечно множество таких, которые не принадлежат U₃. Пусть n₃ -- такое натуральное число, что rJ_n3 ⊂ U₃ для каждого из этого конечного множества коэффициентов r. Обозначим через p₃ ∈ J_n1[[J_n2[[J_n3[[P]]]]]] какой-нибудь элемент, образ которого при отображении J_n1[[J_n2[[π]]]] равен p₂, а образ при отображении φ_Jn3[[P]] принадлежит U₂[[J_n3[[P]]]].

Таким образом, мы получаем последовательность натуральных чисел n_k и элементов p_k ∈ J_n1[[…[[J_nk[[P]]]]…]], таких что образ элемента p_k при отображении J_n1[[…[[J_nk−1[[π]]]]…]] равен p_k−1, а его образ q_k при отображении раскрытия внешних k−1 (всех, кроме одной самой внутренней) пар скобок принадлежит U_k−1[[J_nk[[P]]]]. Таким образом, бесконечная сумма ∑_k=2^∞ q_k сходится в топологии R[[X]], где X = R[[P]]. Оставшаяся часть рассуждения такая же, как в привычных версиях контрамодульной леммы Накаямы.

Подумав еще немного, представляется, что без мультипликативных систем, пожалуй, что и можно обойтись.

Пусть A -- локально λ-представимая абелева категория. Зафиксируем кардинал λ, и обозначим через Fun(A) категорию всех ковариантных аддитивных функторов из категории A в категорию абелевых групп, сохраняющих λ-направленные прямые пределы (на самом деле, условие это нам здесь нужно только для того, чтобы Fun(A) не оказалась "слишком большой" категорией, в которой морфизмы между двумя фиксированными объектами образуют класс). Обозначим через CoF(A) ⊂ Fun(A) полную подкатегорию в Fun(A), состоящую из функторов, сохраняющих все прямые пределы, и через ExCoF(A) ⊂ CoF(A) полную подкатегорию в CoF(A), состоящую из точных функторов (т.е., функторов, сохраняющих не только все прямые пределы, но и конечные обратные).

Категория Fun(A) является абелевой категорией, в которой короткая последовательность функторов 0 → F → G → H → 0 точна тогда и только тогда, когда для любого объекта N ∈ A короткая последовательность абелевых групп 0 → F(N) → G(N) → H(N) → 0 точна.

В контексте "аддитивной теории копучков", категория Fun(A) мыслится, как категория копредпучков, ее полная подкатегория CoF(A) -- как категория копучков, а ее полная подкатегория ExCoF(A) -- как категория ковялых копучков.

Лемма 1. Пусть 0 → F → G → H → 0 -- короткая точная последовательность в категории Fun(A). Тогда
(1) если функтор H принадлежит ExCoF(A), а функтор G принадлежит CoF(A), то функтор F принадлежит CoF(A);
(2) если функторы H и G принадлежат ExCoF(A), то и функтор F тоже принадлежит ExCoF(A).
(3) если функторы H и F принадлежат CoF(A), то и функтор F принадлежит CoF(A); если функторы H и F принадлежат ExCoF(A), то и функтор G принадлежит ExCoF(A).

Доказательство: ядро (как и коядро) любого морфизма функторов, сохраняющих направленные прямые пределы, тоже сохраняет направленные прямые пределы, так что достаточно проверить условия сохранения ядер и коядер. Теперь остается заметить, что ядро сюръективного морфизма из короткой точной справа последовательности абелевых групп в короткую точную последовательность является короткой точной справа последовательностью, и ядро сюръективного морфизма точных последовательностей является точной последовательностью. Этим доказаны пункты (1-2); доказательство пункта (3) аналогично.

Пусть R -- полное, отделимое топологическое кольцо со счетной базой окрестностей нуля, состоящей из открытых правых идеалов. Нас будут интересовать ковариантные аддитивные функторы на абелевой категории Гротендика дискретных правых R-модулей discr-R. В частности, с каждым левым R-контрамодулем
P связан функтор контратензорного произведения N → N ⊙_R P, который мы будем обозначать через CT(P) ∈ Fun(discr-R).

Наоборот, для любого функтора F ∈ Fun(discr-R) на проективном пределе pl(F) = projlim_I F(R/I), где I пробегает все открытые правые идеалы I ⊂ R и проективный предел берется по отображениям F(R/I) → F(R/J), полученным применением функтора F к отображениям проекции R/I → R/J для всех пар вложенных идеалов I ⊂ J, имеется естественная структура левого R-контрамодуля. Для любой последовательности элементов r_i ∈ R, сходящейся к нулю в топологии R, и любой последовательности элементов p_i ∈ projlim_I F(R/I), бесконечная сумма ∑_i r_ip_i определяется как элемент проективного предела, компонента которого, принадлежащая группе F(R/I), равна сумме по всем r_i, не принадлежащим I, образов компонент элементов p_i в группах F(R/J_i) при отображениях F(r_i): F(R/J_i) → F(R/I), где J_i ⊂ R обозначает открытый правый идеал, равный полному прообразу правого идеала I ⊂ R при отображении левого умножения r_i: R → R.

Функтор "функтора контратензорного произведения" CT: R-contra → Fun(discr-R) сопряжен слева к функтору проективного предела pl: Fun(R-discr) → R-contra.

Лемма 2. (1) Для любого R-контрамодуля P, функтор CT(P) принадлежит CoF(discr-R);
(2) Для любого функтора F ∈ CoF(discr-R), отображение сопряжения CT(pl(F)) → F является изоморфизмом в категории функторов Fun(discr-R).

R-контрамодуль P называется отделимым, если пересечение его подконтрамодулей I×P по всем открытым правым идеалам I ⊂ R равно нулю. Ясно, что любой подконтрамодуль отделимого контрамодуля отделим.

Лемма 3. (1) Для любого функтора F ∈ Fun(discr-R), левый R-контрамодуль projlim(L) отделим.
(2) Для любого левого R-контрамодуля P, морфизм сопряжения P → pl(CT(P)) сюръективен.
(3) Левый R-контрамодуль P отделим тогда и только тогда, когда морфизм сопряжения P → pl(CT(P)) является изоморфизмом.

Следствие. Функторы pl и CT являются взаимно-обратными эквивалентностями между полной подкатегорией CoF(discr-R) ⊂ Fun(discr-R) и полной подкатегорией отделимых R-контрамодулей в R-contra.

Контрпример: сравнив коядро ядра и ядро коядра извесного гомоморфизма с диагональной матрицей (1, p, p², ...) из свободного Z_p-контрамодуля со счетным множеством образующих в себя, можно убедиться, что категория отделимых Z_p-контрамодулей -- а значит, и эквивалентная ей категория сохраняющих прямые пределы ковариантных аддитивных функторов в категорию абелевых групп на категории p-примарных абелевых групп Z_p-discr -- не абелева.