![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Критерий зануления элемента тензорного произведения
Век живи, век учись: оказывается, настоящим суровым алгебраистам известен критерий обращения в ноль элемента тензорного произведения двух модулей над ассоциативным кольцом. Вот он, этот критерий.
Пусть N -- правый R-модуль с образующими (не свободными, просто какими-то образующими элементами) ni, и пусть M -- левый R-модуль с образующими (тоже не свободными, просто какими-то образующими) mj. Пусть t -- элемент группы N ⊗R M, записанный в виде ∑i ni ⊗ vi, где vi -- какие-то элементы модуля M, причем все из них, кроме конечного числа, равны нулю. Тогда t = 0 в N ⊗R M тогда и только тогда, когда существуют элементы аij кольца R, все из которых, кроме конечного числа, равны нулю, такие что vi = ∑j aij mj в M для всех i и ∑j ni aij = 0 в N для всех j.
Доказательство (оно требует немного подумать насчет логики построения подобного аргумента, но в конечном итоге достаточно прямолинейно) предоставляется читателю.
Пусть N -- правый R-модуль с образующими (не свободными, просто какими-то образующими элементами) ni, и пусть M -- левый R-модуль с образующими (тоже не свободными, просто какими-то образующими) mj. Пусть t -- элемент группы N ⊗R M, записанный в виде ∑i ni ⊗ vi, где vi -- какие-то элементы модуля M, причем все из них, кроме конечного числа, равны нулю. Тогда t = 0 в N ⊗R M тогда и только тогда, когда существуют элементы аij кольца R, все из которых, кроме конечного числа, равны нулю, такие что vi = ∑j aij mj в M для всех i и ∑j ni aij = 0 в N для всех j.
Доказательство (оно требует немного подумать насчет логики построения подобного аргумента, но в конечном итоге достаточно прямолинейно) предоставляется читателю.
no subject
no subject
Я бы сам никогда не стал пользоваться таким критерием, может быть, поэтому и не знал о его существовании, пока теперь случайно не узнал. Мне кажется, это верный способ запутаться и ошибиться в вычислениях. Интересен же этот критерий не тем, чтобы им пользоваться, а тем, как его доказывать. Может быть хорошей задачкой для некоторых студентов. Причем при попытке доказывать такое запутаться и ошибиться еще легче, конечно -- но этим и интересно. Как не запутаться.
Если же мне нужно доказать, что какой-то конкретный элемент t ∈ N ⊗R M не зануляется, я, скорее всего, попытался бы подобрать гомоморфизмы модулей N → N' и M → M', такие что N' ⊗R M' легко вычисляется и образ элемента t в N' ⊗R M' ненулевой. Мне кажется, это гораздо понятнее, чем попытка использовать подобный критерий.
Но вообще я уверен, что ты как человек, занимающийся книгоизданием, знаешь некий довольно обширный сегмент математической литературы гораздо лучше меня.