![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Еще о редукции точных категорий - 2
Наряду с аналогом "цело-цело-конечной" последовательности Бокштейна, обсуждавшимся в предыдущих постингах, хотелось бы иметь также аналог "конечно-конечно-конечной" последовательности в общей ситуации редукции точных категорий. Для простоты, мы ограничимся здесь редукциями по эндоморфизмам тождественного функтора.
Пусть F -- точная категория, и пусть σ, τ: IdF → IdF -- два естественных преобразования, бьющих из тождественного эндофунктора на категории F в него самого. Другими словами, для всех объектов X ∈ F заданы эндоморфизмы σX, τX: X → X, образующие коммутативные диаграммы со всеми морфизмами X → Y в категории F.
Предположим, что для каждого трех естественных преобразований σ, τ, στ: IdF → IdF существуют дополнительные данные ("консервативные точные функторы" в подходящие базовые точные категории), с помощью которых можно определить редуцированные точные категории Gσ = F/σ, Gτ = F/τ, Gστ = F/στ. (Будем предполагать, опять же для простоты, во всех трех случаях, что функторы подкрутки на базовых категориях тоже тождественные.)
Обозначим функторы редукции через gσ: F → Gσ и аналогично для τ и στ. Утверждается, что в этих условиях для любых двух объектов X,Y ∈ F имеется естественная длинная точная последовательность
ExtGτn(gτ(X),gτ(Y)) → ExtGστn(gστ(X),gστ(Y)) → ExtGσn(gσ(X),gσ(Y)) → ExtGτn+1(gτ(X),gτ(Y)) →
Строится эта точная последовательность следующим образом. Вторая стрелка ExtGστn(gστ(X),gστ(Y)) → ExtGσn(gσ(X),gσ(Y))индуцирована естественным точным функтором Gστ → Gσ, существующим постольку, поскольку всякий функтор, аннулирующий σ, аннулирует также и στ (и в предположении, что консервативный точный функтор F → Eσ, с помощью которого строится точная категория Gσ, раскладывается в композицию консервативного точного функтора F → Eστ, с помощью которого строится точная категория Gστ, и какого-то точного функтора Eστ → Eσ) (зачеркнутое неверно; как строить вторую стрелку, объясняется в следующем постинге).
Граничное отображение ("гомоморфизм Бокштейна") ExtGσn(gσ(X),gσ(Y)) → ExtGτn+1(gτ(X),gτ(Y)) есть композиция граничного отображения ExtGσn(gσ(X),gσ(Y)) → ExtFn+1(X,Y) и отображения ExtFn+1(X,Y) → ExtGτn+1(gτ(X),gτ(Y)), индуцированного функтором gτ. Что касается первой стрелки ExtGτn(gτ(X),gτ(Y)) → ExtGστn(gστ(X),gστ(Y)), то она строится аналогично тому, как (но проще, чем) строится в разделе 4.5 статьи Mixed Artin-Tate motives... (вышеупомянутое) граничное отображение в "цело-цело-конечной" последовательности Бокштейна.
Конструкция основана на лемме 4.5 из раздела 4.4 той же статьи, согласно которой "большое градуированное кольцо" ExtGτ*(gτ(X),gτ(Y))X,Y∈F индуцировано со своей нулевой градуировочной компоненты как (левый или правый) "большой градуированный модуль" над большим градуированным кольцом ExtF*(X,Y)X,Y∈F (в смысле, с нулевой градуировочной компоненты как модуля над нулевой градуировочной компонентной последнего большого кольца). Поэтому достаточно построить искомое отображение на классах Ext степени 0 и проверить необходимые согласования.
Пусть имеется морфизм gτ(X) → gτ(Y) в категории Gτ. Тогда можно подобрать допустимый эпиморфизм X' → X, допустимый мономорфизм Y → Y' и морфизмы X' → Y и X → Y' в категории F,образующие коммутативный квадрат в категории F, образы которых при функторе gτ вместе с исходным морфизмом образуют два коммутативных треугольника с общим ребром в точной категории Gτ. Квадрат из морфизмов в категории F коммутативен по модулю идеала морфизмов, делящихся на τ. Заменяя обе стрелки X' → Y и X → Y' на их композиции с эндоморфизмами σ (все равно, какой из вершин, т.к. естественное преобразование), получаем новый коммутативный квадрат из морфизмов с теми же вершинами в категории F, коммутативный по модулю идеала морфизмов, делящихся на στ.
Пусть K → X' -- ядро допустимого эпиморфизма X' → X и Y' → C -- коядро допустимого мономорфизма Y → Y'. Тогда композиции K → X' → Y и X → Y' → C делятся на τ, если подразумеваются исходные морфизмы X' → Y и X → Y' (поскольку они аннулируются функтором gτ), и, следовательно, на στ, eсли новые. Ввиду последнего, коммутативный (согласно предыдущему абзацу) образ нового квадрата при функторе gστ можно (единственным образом) дополнить стрелкой gστ(X) → gστ(Y) так, чтобы коммутативность сохранилась. Искомое отображение на классах Ext степени 0 построено.
Согласованность с умножениями на морфизмы, приходящие из F, сразу следует из этих построений, так что отображение можно продолжить на классы Ext всех степеней. Остается показать, что "левая" и "правая" конструкции искомого отображения дают одинаковый результат. Достаточно проверить это для классов Ext степени 1, что делается с помощью чуть более простой версии того же рассуждения, которым доказывается аналогичное утверждение в разделе 4.5 все той же статьи. Вместо квадрата 3x3 из коротких точных последовательностей, который строится в разделе 4.5, надо будет просто построить морфизм коротких точных последовательностей, выражающий искомое равенство левой и правой композиций морфизмов с классами Ext^1.
Из сравнения конструкции выше с конструкцией "цело-цело-конечного" отображения Бокштейна в том же разделе 4.5 ясно, что композиция построенного отображения ExtGτn(gτ(X),gτ(Y)) → ExtGστn(gστ(X),gστ(Y)) с граничным отображением ExtGστn(gστ(X),gστ(Y)) → ExtFn+1(X,Y) равна граничному отображению ExtGτn(gτ(X),gτ(Y)) → ExtFn+1(X,Y). Теперь нетрудно убедиться, что описанная в постинге http://posic.livejournal.com/994724.html диаграмма, составленная из групп Ext между образами объектов X, Y ∈ F в категориях F, Gσ, Gτ, Gστ коммутативна, так что точность искомой "конечно-конечно-конечной" последовательности Бокштейна следует из точности "цело-цело-конечных" последовательностей Б. ввиду аргумента с диаграммным поиском, о котором говорится в том постинге.
Пусть F -- точная категория, и пусть σ, τ: IdF → IdF -- два естественных преобразования, бьющих из тождественного эндофунктора на категории F в него самого. Другими словами, для всех объектов X ∈ F заданы эндоморфизмы σX, τX: X → X, образующие коммутативные диаграммы со всеми морфизмами X → Y в категории F.
Предположим, что для каждого трех естественных преобразований σ, τ, στ: IdF → IdF существуют дополнительные данные ("консервативные точные функторы" в подходящие базовые точные категории), с помощью которых можно определить редуцированные точные категории Gσ = F/σ, Gτ = F/τ, Gστ = F/στ. (Будем предполагать, опять же для простоты, во всех трех случаях, что функторы подкрутки на базовых категориях тоже тождественные.)
Обозначим функторы редукции через gσ: F → Gσ и аналогично для τ и στ. Утверждается, что в этих условиях для любых двух объектов X,Y ∈ F имеется естественная длинная точная последовательность
ExtGτn(gτ(X),gτ(Y)) → ExtGστn(gστ(X),gστ(Y)) → ExtGσn(gσ(X),gσ(Y)) → ExtGτn+1(gτ(X),gτ(Y)) →
Строится эта точная последовательность следующим образом. Вторая стрелка ExtGστn(gστ(X),gστ(Y)) → ExtGσn(gσ(X),gσ(Y))
Граничное отображение ("гомоморфизм Бокштейна") ExtGσn(gσ(X),gσ(Y)) → ExtGτn+1(gτ(X),gτ(Y)) есть композиция граничного отображения ExtGσn(gσ(X),gσ(Y)) → ExtFn+1(X,Y) и отображения ExtFn+1(X,Y) → ExtGτn+1(gτ(X),gτ(Y)), индуцированного функтором gτ. Что касается первой стрелки ExtGτn(gτ(X),gτ(Y)) → ExtGστn(gστ(X),gστ(Y)), то она строится аналогично тому, как (но проще, чем) строится в разделе 4.5 статьи Mixed Artin-Tate motives... (вышеупомянутое) граничное отображение в "цело-цело-конечной" последовательности Бокштейна.
Конструкция основана на лемме 4.5 из раздела 4.4 той же статьи, согласно которой "большое градуированное кольцо" ExtGτ*(gτ(X),gτ(Y))X,Y∈F индуцировано со своей нулевой градуировочной компоненты как (левый или правый) "большой градуированный модуль" над большим градуированным кольцом ExtF*(X,Y)X,Y∈F (в смысле, с нулевой градуировочной компоненты как модуля над нулевой градуировочной компонентной последнего большого кольца). Поэтому достаточно построить искомое отображение на классах Ext степени 0 и проверить необходимые согласования.
Пусть имеется морфизм gτ(X) → gτ(Y) в категории Gτ. Тогда можно подобрать допустимый эпиморфизм X' → X, допустимый мономорфизм Y → Y' и морфизмы X' → Y и X → Y' в категории F,
Пусть K → X' -- ядро допустимого эпиморфизма X' → X и Y' → C -- коядро допустимого мономорфизма Y → Y'. Тогда композиции K → X' → Y и X → Y' → C делятся на τ, если подразумеваются исходные морфизмы X' → Y и X → Y' (поскольку они аннулируются функтором gτ), и, следовательно, на στ, eсли новые. Ввиду последнего, коммутативный (согласно предыдущему абзацу) образ нового квадрата при функторе gστ можно (единственным образом) дополнить стрелкой gστ(X) → gστ(Y) так, чтобы коммутативность сохранилась. Искомое отображение на классах Ext степени 0 построено.
Согласованность с умножениями на морфизмы, приходящие из F, сразу следует из этих построений, так что отображение можно продолжить на классы Ext всех степеней. Остается показать, что "левая" и "правая" конструкции искомого отображения дают одинаковый результат. Достаточно проверить это для классов Ext степени 1, что делается с помощью чуть более простой версии того же рассуждения, которым доказывается аналогичное утверждение в разделе 4.5 все той же статьи. Вместо квадрата 3x3 из коротких точных последовательностей, который строится в разделе 4.5, надо будет просто построить морфизм коротких точных последовательностей, выражающий искомое равенство левой и правой композиций морфизмов с классами Ext^1.
Из сравнения конструкции выше с конструкцией "цело-цело-конечного" отображения Бокштейна в том же разделе 4.5 ясно, что композиция построенного отображения ExtGτn(gτ(X),gτ(Y)) → ExtGστn(gστ(X),gστ(Y)) с граничным отображением ExtGστn(gστ(X),gστ(Y)) → ExtFn+1(X,Y) равна граничному отображению ExtGτn(gτ(X),gτ(Y)) → ExtFn+1(X,Y). Теперь нетрудно убедиться, что описанная в постинге http://posic.livejournal.com/994724.html диаграмма, составленная из групп Ext между образами объектов X, Y ∈ F в категориях F, Gσ, Gτ, Gστ коммутативна, так что точность искомой "конечно-конечно-конечной" последовательности Бокштейна следует из точности "цело-цело-конечных" последовательностей Б. ввиду аргумента с диаграммным поиском, о котором говорится в том постинге.
no subject
no subject
no subject
Представьте себе, что вы внукам рассказываете о трудах всей своей жизни, так, чтобы они поняли.
no subject
Если мне вообще удастся увидеть внуков, это будет очень хороший результат. Увидеть их в таком возрасте, когда можно будет пытаться рассказывать им о трудах моей жизни... Маловероятно.
Но, вот я читателям моего ЖЖ рассказываю о трудах моей жизни. Без всяких сказок. Как видно, получилось достаточно увлекательно, чтобы вы пошли разыскивать и комментировать пятилетней давности математический постинг. То есть, что-то понять все-таки может кто-то. Но не математическое содержание, конечно.
no subject
Философия сокрытия знания, вполне понятная в средние века, когда за ересь могли и сжечь, а за обещания превратить свинец в золото вешали регулярно, в периоды, когда научной парадигмой становится датаизм - максимальная открытость информации и взаимоперекрестной передачи идей и методов из разных областей знания, и совсем непересекающихся наук заставляет искать формы единого языка общения, доступного для восприятия как профессионалами, так и сторонними наблюдателями, желающими разобраться в оценках ситуации. Гениальные прозрения должны освещать путь не только двух трех десятков человек, вовлеченных в сходные тематики, но также и популярные выжимки из них должны наталкивать остальные 95 процентов идиотов к причастности. Что-то типа "эйнштейновская теория относительности говорит, что все относительно". Это заставляет их хотя бы минимальным образом следить за развитием научной мысли.
no subject
Я не готов быть никем заставляемым -- и не собираюсь никого заставлять. В причастности идиотов к моей деятельности я ни в малейшей мере не заинтересован.
В то же время, я нисколько свое знание не скрываю. Мы пишем эти комментарии под открытым постингом, содержащим такое знание. Пожалуйста -- читайте, берите, используйте. Непонятно? Сначала придется долго учиться, да. Царской дороги в геометрию нет.
Я тебя не трогаю, и ты меня не трогай
Иду своей дорогою – иди своей дорогой
Я тебя не трогаю, иду своей дорогою
И ты меня не трогай, иди своей дорогой
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
Реальность (очень грубо-приблизительно): прочитать десять книг на разные темы, в порядке быстрого возрастания сложности и абстрактности, прорешав по два десятка упражнений к каждой. Или прослушать двадцать курсов на разные темы, тоже в порядке возрастания, прорешав по три десятка упражнений к каждому. После этого прочитать тридцать статей, внимательно разобрав доказательства.
Представление нематематика: решить два тома упражнений на одну тему (о существовании других тем он не слыхал, и саму возможность их существования вообразить себе ему не удается).
no subject
То есть язык иерархического структурирования переходов от частного к общему должен иметь оинаковые слова как для алгебраистов, так для функанщиков и топологогеометрических представителей.
no subject
Как вариант - можно попросить человека, который хорошо разбирается в интересующем Вас вопросе, потратить пару вечеров на то, чтобы подобрать Вам литературу.
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
Материал для этих сказок даже разбросан скажем, во всяких обзорах и на него можно натолкнуться. Вот например, на днях листая электронный вариант Bulletin AMS наткнулся на рецензию на книгу про р-адические ДУ,
http://www.ams.org/journals/bull/2012-49-03/S0273-0979-2012-01371-X/S0273-0979-2012-01371-X.pdf
и там в частности приводится интерпретация(Turritin's theorem), как теорема о существовании решений ДУ n-го порядка с постоянными к-ми может быть записана в терминах модулей и тем самым обобщена с действительных постоянных к-тов на весьма широкий класс колец. Грубо говоря, вот этот пример перевода того, чем занимается хозяин этого журнал, на эпсилон-дельты. Другой вопрос, что для других вещей, которыми занимается автора, перевод еще не сделан и неизвестно когда будет сделан, может и через 100 лет.
no subject