![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Производный функтор Cotor без ограничения гомологической размерности кольца
http://posic.livejournal.com/194561.html , http://posic.livejournal.com/195723.html
Два способа определить функтор Cotor над кокольцом (коалгеброидом) C над кольцом A, не предполагая конечности гомологической размерности A.
1. Можно определить CotorC(N,M) для двух комплексов комодулей N и М, хотя бы один из которых является комплексом комодулей ограниченной плоской размерности над A, применив к этому комплексу комодулей обычную конструкцию резольвенты. Таким образом получается функтор на декартовом произведении копроизводных категорий. В случае, когда ограниченные плоские размерности имеют члены обоих комплексов, можно даже применять общее определение производного функтора от функтора двух аргументов.
2. Если перейти в категорию провекторных пространств, то там для определения функтора Cotor не нужны никакие ограничения гомологической размерности. Предположим для простоты, что A и C являются векторными пространствами над полем k. Рассмотрим более общую ситуацию, когда A и С являются про-k-векторными пространствами, и будем рассматривать C-комодули в категории Pro(k-vect). Назовем полупроизводной категорией C-комодулей факторкатегорию гомотопической категории по толстой подкатегории комплексов C-комодулей, контраацикличных как комплексы A-модулей. Тогда можно применить общее определение производного функтора от функтора двух аргументов и получить производный функтор ProCotor на произведении полупроизводных категорий правых и левых C-комодулей со значениями в производной категории про-k-векторных пространств.
Заметим, что функторы Cotor и ProCotor из пунктов 1 и 2 отличаются (для не ограниченных снизу комплексов) уже в том случае, когда A=k и С -- обычная коалгебра над полем: Cotor -- это то, что классически называлось CotorC,II (производный функтор второго рода), а ProCotor -- это CotorC,I.
P.S. Имеются аналогичные конструкции производных функторов Coext и IndCoext; чтобы определить последний, нужно рассматривать С-контрамодули в категории Ind(k-vect).
Два способа определить функтор Cotor над кокольцом (коалгеброидом) C над кольцом A, не предполагая конечности гомологической размерности A.
1. Можно определить CotorC(N,M) для двух комплексов комодулей N и М, хотя бы один из которых является комплексом комодулей ограниченной плоской размерности над A, применив к этому комплексу комодулей обычную конструкцию резольвенты. Таким образом получается функтор на декартовом произведении копроизводных категорий. В случае, когда ограниченные плоские размерности имеют члены обоих комплексов, можно даже применять общее определение производного функтора от функтора двух аргументов.
2. Если перейти в категорию провекторных пространств, то там для определения функтора Cotor не нужны никакие ограничения гомологической размерности. Предположим для простоты, что A и C являются векторными пространствами над полем k. Рассмотрим более общую ситуацию, когда A и С являются про-k-векторными пространствами, и будем рассматривать C-комодули в категории Pro(k-vect). Назовем полупроизводной категорией C-комодулей факторкатегорию гомотопической категории по толстой подкатегории комплексов C-комодулей, контраацикличных как комплексы A-модулей. Тогда можно применить общее определение производного функтора от функтора двух аргументов и получить производный функтор ProCotor на произведении полупроизводных категорий правых и левых C-комодулей со значениями в производной категории про-k-векторных пространств.
Заметим, что функторы Cotor и ProCotor из пунктов 1 и 2 отличаются (для не ограниченных снизу комплексов) уже в том случае, когда A=k и С -- обычная коалгебра над полем: Cotor -- это то, что классически называлось CotorC,II (производный функтор второго рода), а ProCotor -- это CotorC,I.
P.S. Имеются аналогичные конструкции производных функторов Coext и IndCoext; чтобы определить последний, нужно рассматривать С-контрамодули в категории Ind(k-vect).
no subject
no subject
CotorC,I является функтором на декартовом произведении производных категорий DG-модулей первого рода (обычных), а CotorC,II является функтором на декартовом произведении производных категорий DG-модулей второго рода (копроизводных категорий).
Впрочем, вот и пример: если С -- двумерная коалгебра над k, двойственная к алгебре k[x]/x2, N=k -- тривиальный модуль, а M -- известный бесконечный в обе стороны ацикличный, но не стягиваемый комплекс свободных (=косвободных) модулей с одной образующей, то CotorC,I(N,M)=0, a CotorC,II(N,M) квазиизоморфен котензорному произведению N и M над C и имеет одномерные когомологии в каждой гомологической размерности.
no subject
А вот еще вопрос, но не совсем на тему поста. Когда-то давно была статья Tsygan-Nest где они говорили, что квантовые когомологии в геометрии как-то связаны с полубесконечными в алгебре. Известно ли, что они имели в виду?
no subject
no subject
On the cohomology ring of an algebra. (English summary) Advances in geometry, 337--370, Progr. Math., 172, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1999.
Nest, Ryszard(DK-CPNH); Tsygan, Boris(1-PAS)
The Fukaya type categories for associative algebras. Deformation theory and symplectic geometry (Ascona, 1996), 285--300,
Math. Phys. Stud., 20, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1997.
Вторую я не читал, но в конце первой есть такие замечания (пишу сокращенно и по английски, иначе мучение с ТеХом)
Let $A$ be an algebra and $E^*_A$ the standard complex computing its Hochschild cohomology, viewed as a DG algebra. Then one can define two Hochschild chain complexes $\mathcal{C}^*(A)$ and $\mathcal{C}^*_\infty(A)$ by considering the standard CHAIN complex of $E^*_A$ (with coefficients in itself), which is bigraded, and then taking direct sums along the diagonal
$i + j = n$ to get $\mathcal{C}^*(A)$ and direct products to get
$\mathcal{C}^*_\infty(A)$.
Then they construct two homotopically associative categories for which
$\mathcal{C}^*(A)$ and $\mathcal{C}^*_\infty(A)$ is the ring of endomorphisms of identity. It seems that the objects are automorphisms of $A$ and the morphisms are Hochschild homology groups of $E^*_A$ with coefficients in a twisted form of $E^*_A$ (twisted by the pair of automorphisms between which we want to have a morphism).
Then they write: when $A$ is a deformed algebra of functions on a symplectic manifold, the Hom-spaces reflect the geometry of the fixed point sets of the two automorphisms and of related loop and path spaces.
IT LOOKS LIKE there is a semi-infinite version of this construction which is more closely related to Floer cohomology of loop spaces.
Вот и все - к последнему абзацу никаких деталей. Я просто увидел суммы и произведения по диагоналям и подумал - а вдруг у Вас тоже есть полубесконечные хохшильдовские цепи DG над алгеброй Е(А) хохшильдовских коцепей алгебры А.
no subject
math.QA/9803140 Fukaya Type Categories for Associative Algebras. Ryszard Nest,
Boris Tsygan
math.QA/9803132 On the Cohomology Ring of an Algebra. Pyszard Nest, Boris Tsygan
а в предыдущем посте я имел в виду "над DG алгеброй E(A)"
no subject
Люди задавались вопросом, как можно определить функторы Tor, Cotor и т.п. над DG-(ко)алгеброй, ну и пришли к выводу, что это можно сделать двумя способами, взяв сумму или произведение по диагоналям, и в зависимости от этого будут разные свойства: к Tor/Cotor первого рода сходится спектралка от Tor/Cotor между когомологиями DG-(ко)модулей над когомологиями DG-(ко)алгебры, а к Tor/Cotor второго рода сходится спектралка от Tor/Cotor между (ко)модулями, рассматриваемыми без дифференциала, над (ко)алгеброй, рассматриваемой без дифференциала. На таком наивном уровне это просто история о том, как две спектральные последовательности бикомплекса, которые для конечного бикомплекса сходятся к одним и тем же когомологиям тотального комплекса, для бесконечного бикомплекса сходятся к разным когомологиям двух разных тотальных комплексов.