![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Еще о редукции точных категорий - 2
Наряду с аналогом "цело-цело-конечной" последовательности Бокштейна, обсуждавшимся в предыдущих постингах, хотелось бы иметь также аналог "конечно-конечно-конечной" последовательности в общей ситуации редукции точных категорий. Для простоты, мы ограничимся здесь редукциями по эндоморфизмам тождественного функтора.
Пусть F -- точная категория, и пусть σ, τ: IdF → IdF -- два естественных преобразования, бьющих из тождественного эндофунктора на категории F в него самого. Другими словами, для всех объектов X ∈ F заданы эндоморфизмы σX, τX: X → X, образующие коммутативные диаграммы со всеми морфизмами X → Y в категории F.
Предположим, что для каждого трех естественных преобразований σ, τ, στ: IdF → IdF существуют дополнительные данные ("консервативные точные функторы" в подходящие базовые точные категории), с помощью которых можно определить редуцированные точные категории Gσ = F/σ, Gτ = F/τ, Gστ = F/στ. (Будем предполагать, опять же для простоты, во всех трех случаях, что функторы подкрутки на базовых категориях тоже тождественные.)
Обозначим функторы редукции через gσ: F → Gσ и аналогично для τ и στ. Утверждается, что в этих условиях для любых двух объектов X,Y ∈ F имеется естественная длинная точная последовательность
ExtGτn(gτ(X),gτ(Y)) → ExtGστn(gστ(X),gστ(Y)) → ExtGσn(gσ(X),gσ(Y)) → ExtGτn+1(gτ(X),gτ(Y)) →
Строится эта точная последовательность следующим образом. Вторая стрелка ExtGστn(gστ(X),gστ(Y)) → ExtGσn(gσ(X),gσ(Y))индуцирована естественным точным функтором Gστ → Gσ, существующим постольку, поскольку всякий функтор, аннулирующий σ, аннулирует также и στ (и в предположении, что консервативный точный функтор F → Eσ, с помощью которого строится точная категория Gσ, раскладывается в композицию консервативного точного функтора F → Eστ, с помощью которого строится точная категория Gστ, и какого-то точного функтора Eστ → Eσ) (зачеркнутое неверно; как строить вторую стрелку, объясняется в следующем постинге).
Граничное отображение ("гомоморфизм Бокштейна") ExtGσn(gσ(X),gσ(Y)) → ExtGτn+1(gτ(X),gτ(Y)) есть композиция граничного отображения ExtGσn(gσ(X),gσ(Y)) → ExtFn+1(X,Y) и отображения ExtFn+1(X,Y) → ExtGτn+1(gτ(X),gτ(Y)), индуцированного функтором gτ. Что касается первой стрелки ExtGτn(gτ(X),gτ(Y)) → ExtGστn(gστ(X),gστ(Y)), то она строится аналогично тому, как (но проще, чем) строится в разделе 4.5 статьи Mixed Artin-Tate motives... (вышеупомянутое) граничное отображение в "цело-цело-конечной" последовательности Бокштейна.
Конструкция основана на лемме 4.5 из раздела 4.4 той же статьи, согласно которой "большое градуированное кольцо" ExtGτ*(gτ(X),gτ(Y))X,Y∈F индуцировано со своей нулевой градуировочной компоненты как (левый или правый) "большой градуированный модуль" над большим градуированным кольцом ExtF*(X,Y)X,Y∈F (в смысле, с нулевой градуировочной компоненты как модуля над нулевой градуировочной компонентной последнего большого кольца). Поэтому достаточно построить искомое отображение на классах Ext степени 0 и проверить необходимые согласования.
Пусть имеется морфизм gτ(X) → gτ(Y) в категории Gτ. Тогда можно подобрать допустимый эпиморфизм X' → X, допустимый мономорфизм Y → Y' и морфизмы X' → Y и X → Y' в категории F,образующие коммутативный квадрат в категории F, образы которых при функторе gτ вместе с исходным морфизмом образуют два коммутативных треугольника с общим ребром в точной категории Gτ. Квадрат из морфизмов в категории F коммутативен по модулю идеала морфизмов, делящихся на τ. Заменяя обе стрелки X' → Y и X → Y' на их композиции с эндоморфизмами σ (все равно, какой из вершин, т.к. естественное преобразование), получаем новый коммутативный квадрат из морфизмов с теми же вершинами в категории F, коммутативный по модулю идеала морфизмов, делящихся на στ.
Пусть K → X' -- ядро допустимого эпиморфизма X' → X и Y' → C -- коядро допустимого мономорфизма Y → Y'. Тогда композиции K → X' → Y и X → Y' → C делятся на τ, если подразумеваются исходные морфизмы X' → Y и X → Y' (поскольку они аннулируются функтором gτ), и, следовательно, на στ, eсли новые. Ввиду последнего, коммутативный (согласно предыдущему абзацу) образ нового квадрата при функторе gστ можно (единственным образом) дополнить стрелкой gστ(X) → gστ(Y) так, чтобы коммутативность сохранилась. Искомое отображение на классах Ext степени 0 построено.
Согласованность с умножениями на морфизмы, приходящие из F, сразу следует из этих построений, так что отображение можно продолжить на классы Ext всех степеней. Остается показать, что "левая" и "правая" конструкции искомого отображения дают одинаковый результат. Достаточно проверить это для классов Ext степени 1, что делается с помощью чуть более простой версии того же рассуждения, которым доказывается аналогичное утверждение в разделе 4.5 все той же статьи. Вместо квадрата 3x3 из коротких точных последовательностей, который строится в разделе 4.5, надо будет просто построить морфизм коротких точных последовательностей, выражающий искомое равенство левой и правой композиций морфизмов с классами Ext^1.
Из сравнения конструкции выше с конструкцией "цело-цело-конечного" отображения Бокштейна в том же разделе 4.5 ясно, что композиция построенного отображения ExtGτn(gτ(X),gτ(Y)) → ExtGστn(gστ(X),gστ(Y)) с граничным отображением ExtGστn(gστ(X),gστ(Y)) → ExtFn+1(X,Y) равна граничному отображению ExtGτn(gτ(X),gτ(Y)) → ExtFn+1(X,Y). Теперь нетрудно убедиться, что описанная в постинге http://posic.livejournal.com/994724.html диаграмма, составленная из групп Ext между образами объектов X, Y ∈ F в категориях F, Gσ, Gτ, Gστ коммутативна, так что точность искомой "конечно-конечно-конечной" последовательности Бокштейна следует из точности "цело-цело-конечных" последовательностей Б. ввиду аргумента с диаграммным поиском, о котором говорится в том постинге.
Пусть F -- точная категория, и пусть σ, τ: IdF → IdF -- два естественных преобразования, бьющих из тождественного эндофунктора на категории F в него самого. Другими словами, для всех объектов X ∈ F заданы эндоморфизмы σX, τX: X → X, образующие коммутативные диаграммы со всеми морфизмами X → Y в категории F.
Предположим, что для каждого трех естественных преобразований σ, τ, στ: IdF → IdF существуют дополнительные данные ("консервативные точные функторы" в подходящие базовые точные категории), с помощью которых можно определить редуцированные точные категории Gσ = F/σ, Gτ = F/τ, Gστ = F/στ. (Будем предполагать, опять же для простоты, во всех трех случаях, что функторы подкрутки на базовых категориях тоже тождественные.)
Обозначим функторы редукции через gσ: F → Gσ и аналогично для τ и στ. Утверждается, что в этих условиях для любых двух объектов X,Y ∈ F имеется естественная длинная точная последовательность
ExtGτn(gτ(X),gτ(Y)) → ExtGστn(gστ(X),gστ(Y)) → ExtGσn(gσ(X),gσ(Y)) → ExtGτn+1(gτ(X),gτ(Y)) →
Строится эта точная последовательность следующим образом. Вторая стрелка ExtGστn(gστ(X),gστ(Y)) → ExtGσn(gσ(X),gσ(Y))
Граничное отображение ("гомоморфизм Бокштейна") ExtGσn(gσ(X),gσ(Y)) → ExtGτn+1(gτ(X),gτ(Y)) есть композиция граничного отображения ExtGσn(gσ(X),gσ(Y)) → ExtFn+1(X,Y) и отображения ExtFn+1(X,Y) → ExtGτn+1(gτ(X),gτ(Y)), индуцированного функтором gτ. Что касается первой стрелки ExtGτn(gτ(X),gτ(Y)) → ExtGστn(gστ(X),gστ(Y)), то она строится аналогично тому, как (но проще, чем) строится в разделе 4.5 статьи Mixed Artin-Tate motives... (вышеупомянутое) граничное отображение в "цело-цело-конечной" последовательности Бокштейна.
Конструкция основана на лемме 4.5 из раздела 4.4 той же статьи, согласно которой "большое градуированное кольцо" ExtGτ*(gτ(X),gτ(Y))X,Y∈F индуцировано со своей нулевой градуировочной компоненты как (левый или правый) "большой градуированный модуль" над большим градуированным кольцом ExtF*(X,Y)X,Y∈F (в смысле, с нулевой градуировочной компоненты как модуля над нулевой градуировочной компонентной последнего большого кольца). Поэтому достаточно построить искомое отображение на классах Ext степени 0 и проверить необходимые согласования.
Пусть имеется морфизм gτ(X) → gτ(Y) в категории Gτ. Тогда можно подобрать допустимый эпиморфизм X' → X, допустимый мономорфизм Y → Y' и морфизмы X' → Y и X → Y' в категории F,
Пусть K → X' -- ядро допустимого эпиморфизма X' → X и Y' → C -- коядро допустимого мономорфизма Y → Y'. Тогда композиции K → X' → Y и X → Y' → C делятся на τ, если подразумеваются исходные морфизмы X' → Y и X → Y' (поскольку они аннулируются функтором gτ), и, следовательно, на στ, eсли новые. Ввиду последнего, коммутативный (согласно предыдущему абзацу) образ нового квадрата при функторе gστ можно (единственным образом) дополнить стрелкой gστ(X) → gστ(Y) так, чтобы коммутативность сохранилась. Искомое отображение на классах Ext степени 0 построено.
Согласованность с умножениями на морфизмы, приходящие из F, сразу следует из этих построений, так что отображение можно продолжить на классы Ext всех степеней. Остается показать, что "левая" и "правая" конструкции искомого отображения дают одинаковый результат. Достаточно проверить это для классов Ext степени 1, что делается с помощью чуть более простой версии того же рассуждения, которым доказывается аналогичное утверждение в разделе 4.5 все той же статьи. Вместо квадрата 3x3 из коротких точных последовательностей, который строится в разделе 4.5, надо будет просто построить морфизм коротких точных последовательностей, выражающий искомое равенство левой и правой композиций морфизмов с классами Ext^1.
Из сравнения конструкции выше с конструкцией "цело-цело-конечного" отображения Бокштейна в том же разделе 4.5 ясно, что композиция построенного отображения ExtGτn(gτ(X),gτ(Y)) → ExtGστn(gστ(X),gστ(Y)) с граничным отображением ExtGστn(gστ(X),gστ(Y)) → ExtFn+1(X,Y) равна граничному отображению ExtGτn(gτ(X),gτ(Y)) → ExtFn+1(X,Y). Теперь нетрудно убедиться, что описанная в постинге http://posic.livejournal.com/994724.html диаграмма, составленная из групп Ext между образами объектов X, Y ∈ F в категориях F, Gσ, Gτ, Gστ коммутативна, так что точность искомой "конечно-конечно-конечной" последовательности Бокштейна следует из точности "цело-цело-конечных" последовательностей Б. ввиду аргумента с диаграммным поиском, о котором говорится в том постинге.