![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Контрамодули над нетеровыми локальными кольцами
Пусть R -- полное нетерово локальное кольцо с максимальным идеалом m, рассматриваемое как топологическое кольцо в m-адической топологии. Хотелось бы доказать примерно следующее.
1. Забывающий функтор из категории R-контрамодулей в категорию R-модулей является вполне строгим.
2. Образ функтора R-contra → R-mod состоит из всех R-модулей P, удовлетворяющих одному из следующих эквивалентных условий:
а) для любого мультипликативно замкнутого подмножества S ⊂ R и любого целого i ≥ 0, группа ExtRi(R[S−1], P), посчитанная в абелевой категории R-модулей, равна нулю, за исключением случая, когда S не пересекается с m и i = 0;
б) для любого мультипликативно замкнутого подмножества S ⊂ R, имеющего непустое пересечение с m, любого R[S−1]-модуля L, и любого целого i ≥ 0, группа ExtRi(L,P) равна нулю;
в) для любого элемента s ∈ m и любого i, равного нулю или единице, группа ExtRi(R[s−1], P) равна нулю.
1. Забывающий функтор из категории R-контрамодулей в категорию R-модулей является вполне строгим.
2. Образ функтора R-contra → R-mod состоит из всех R-модулей P, удовлетворяющих одному из следующих эквивалентных условий:
а) для любого мультипликативно замкнутого подмножества S ⊂ R и любого целого i ≥ 0, группа ExtRi(R[S−1], P), посчитанная в абелевой категории R-модулей, равна нулю, за исключением случая, когда S не пересекается с m и i = 0;
б) для любого мультипликативно замкнутого подмножества S ⊂ R, имеющего непустое пересечение с m, любого R[S−1]-модуля L, и любого целого i ≥ 0, группа ExtRi(L,P) равна нулю;
в) для любого элемента s ∈ m и любого i, равного нулю или единице, группа ExtRi(R[s−1], P) равна нулю.