МБК-гипотеза и АТ-мотивные пучки: безумные идеи

1. Мотив любой подсхемы аффинной прямой является тейтовским мотивом. Нельзя ли построить производные прямые образы при морфизме X × A¹ → X для моих мотивных пучков Артина-Тейта с конечными коэффициентами?

Вопрос загадочный, поскольку при итерировании получается X × A², а мотив произвольной подсхемы аффинной плоскости уже вовсе не обязательно тейтовский. (Вообще, как соотносятся артин-тейтовские мотивные пучки и мотивные пучки с тейтовскими слоями, в случае конечных коэффициентов?) [Upd: ну, видимо просто производные прямые образы при морфизме X × A¹ → X будут AT-мотивными пучками на X только для тейтовских (в смысле, артин-тейтовских с тейтовскими слоями) мотивных пучков на X × A¹.]

2. Допустим, мы пытаемся доказывать МБК-гипотезу путем доказательства кошулевости больших градуированных алгебр, отвечающих за мотивы Артина-Тейта над полями, как предлагается здесь. А кошулевость алгебры A или A', связанной с полем K, пытаемся доказывать возрастающей индукцией по K.

a) Может быть, проблему перехода от поля K к его алгебраическому расширению при такой индукции можно разрешить руками?

б) Может быть, проблему перехода от поля K к его чисто трансцендентному расширению при такой индукции можно разрешить, пользуясь пунктом 1?

Еще об AT-мотивных пучках

Мотивы Тейта с рациональными коэффициентами варьируются в семействах. Здравый смысл и воспоминания о семинарах, посещавшихся в юности, подсказывают, что должен существовать мотивный пучок над G_m (над любым полем F), слой которого над точкой x ∈ G_m есть расширение Z с помощью Z(1), соответствующее элементу x ∈ Ext_F¹(Z,Z(1)) = F*.

Например, мотив первых гомологий G_m со склеенными точками 1 и x может быть искомым расширением, и, очевидно, когда x варьируется, это законное семейство многообразий над x ∈ G_m\1, по крайней мере. (Может быть, это неправильный пример. Будем считать его иллюстрацией меры моей необразованности.)

С конечными коэффициентами Z/n, обратный образ этого мотивного пучка при отображении возведения в n-ю степень G_m → G_m предположительно разваливается в прямую сумму Z/n и Z/n(1). Предположительно, это значит, что интересующий нас мотивный пучок есть под- и факторпучок прямого образа Z/n ⊕ Z/n(1) при отображении возведения x в степень n. Хорошо бы выловить этот объект в моей точной категории мотивных пучков Артина-Тейта.

Если этот пример репрезентативен (а на первый взгляд кажется, что он довольно репрезентативен), он может показывать, что всякий мотивный пучок с артин-тейтовскими слоями артин-тейтовский, когда коэффициенты конечны.

Впрочем нет, должен быть еще другой класс примеров, когда все слои одинаковы, но есть монодромия. Но с конечными коэффициентами монодромия должна быть конечной, так что вывод предположительно тот же самый -- в алгебраическом накрытии вариация тривиализуется. Так?

Мотивы Артина-Тейта и расширения базового поля

Пусть K ⊂ L ⊂ M -- башня полей, L/K -- конечное расширение, M/K -- расширение Галуа. Пусть k -- кольцо коэффициентов (Z, Q, Z/m, ...) Пусть DM(K,k) и DM(L,k) -- триангулированные категории мотивов над K и L, соответственно, с коэффициентами в k. Предположим, что vanishing conjectures выполнены для мотивов над K с коэффициентами в k. Пусть MAT(K,M,k) и MAT(L,M,k) -- точные подкатегории в DM(K,k) и DM(L,k), порожденные с помощью расширений тейтовски подкрученными мотивами спектров полей, конечных над K (соотв. L) и содержащихся в M. Тогда K(π,1)-гипотеза для MAT(K,M,k) влечет K(π,1)-гипотезу для MAT(L,M,k).

В самом деле, ( Read more... )

Лучше бы, конечно, уметь доказывать это без предположения vanishing и без точных категорий, пользуясь языком разложимости Ext-ов/глупых фильтраций.