Моя гипотеза опровергнута?

[posic]

В разделе 1 главы 7 книжки "Quadratic Algebras" сформулированы три гипотезы про ряды Гильберта кошулевых алгебр. В частности, гипотеза 2 утверждает, что если ряд Гильберта кошулевой алгебры A является многочленом степени d, то размерность компоненты A₁ не меньше d.

В свежей работе Июду и Шкарина http://preprints.ihes.fr/2016/M/M-16-16.pdf классифицированы ряды Гильберта квадратичных алгебр с 3 образующими и 3 соотношениями. В частности, рядов Гильберта кошулевых алгебр с размерностями компонент dim A₁ = dim A₂ = 3, не являющихся рядами Гильберта квадратичных мономиальных алгебр, имеются две штуки (см. там Theorem 1.1 и Proposition 4.2):

1 + 3t+ 3t² + 2t³ + t⁴ = (1+2t+t²+t³)(1+t)

и

1 + 3t+ 3t² + 2t³ + t⁴ + t⁵ + … = (1+2t−t³−t⁴)/(1−t).

Первый из этих двух рядов, реализующийся, как утверждают авторы, для кошулевой алгебры с соотношениями

x²−yx = xy = y² = yz = zx = z² = 0,

является контрпримером к моей гипотезе 2.

Comments

[piont.livejournal.com]

Ряд Гильберта для первой алгебры у меня получился такой же, козюлевость пока не проверял.

[piont.livejournal.com]

Лёня, вроде бы, эта алгебра все же не козюлева, поскольку не подходят ряды Гильберта -- если я правильно посчитал

Я считал базисы Гребнера на Магме (в калькуляторе на сайте) и ряды Гильберта вручную.

У алгебры A ряд Гильберта простой: A(t) = 1 + 3t+ 3t2 + 2t3 + t4 .
Поэтому у двойственной должен быть A^!(t) = A(-t)^(-1) = 1+3*t+6*t^2+11*t^3+20*t^4+ O(t^4) .
На самом деле, несовпадение уже в 3 члене, поскольку:
соотношения A^! суть z*y, x*z, x*x+ y*z;
базис Гребнера (при z>y>x) есть x^4, z*x^2, x^2*y, z*y, y*z + x^2, x*z;
нормальные слова длины 3 суть xyx, xy^2, x^3, y*{слова длины 2 от x и y}, zxy, z^2x,z^3 : всего их 10, а должно быть 11.

[shuffle81.livejournal.com]

Любопытно. Вроде и впрямь контрпример.