![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Теорема Эклофа-Трлифая для локально представимых/λ-гротендиковых абелевых категорий
Пусть A -- абелева категория с множеством образующих, в которой существуют произвольные прямые пределы и функтор Hom из любого объекта сохраняет λ-направленные прямые пределы для достаточно больших кардиналов λ.
Пусть S -- какое-то множество объектов категории A; обозначим через C класс объектов, ExtA1-ортогональных справа к S и через F класс объектов, ExtA1-ортогональных слева к C.
Пусть X -- объект категории A, который можно вложить в объект из класса C. Тогда его можно вложить в объект из класса C таким образом, что коядро будет принадлежать классу F. При этом это коядро будет трансфинитно-итерированным расширением объектов из S, в смысле (не обязательно точного) направленного прямого предела.
Обратное верно даже в большей общности: в любой абелевой категории класс объектов, Ext1-ортогональных слева к фиксированному объекту справа, замкнут относительно трансфинитно-итерированных расширений в смысле направленного прямого предела (тех из них, которые существуют, в смысле, существуют необходимые для их построения прямые пределы).
Доказательства следуют в русле теоремы 2.5 и леммы 4.4 работы J. Rosicky, "Flat covers and factorizations", Journ. of Algebra 253, 2002 (а также по ссылке от теоремы 2.5 и двойственной версии леммы 4.4).
Current mood: не зря съездил в Брно!
Пусть S -- какое-то множество объектов категории A; обозначим через C класс объектов, ExtA1-ортогональных справа к S и через F класс объектов, ExtA1-ортогональных слева к C.
Пусть X -- объект категории A, который можно вложить в объект из класса C. Тогда его можно вложить в объект из класса C таким образом, что коядро будет принадлежать классу F. При этом это коядро будет трансфинитно-итерированным расширением объектов из S, в смысле (не обязательно точного) направленного прямого предела.
Обратное верно даже в большей общности: в любой абелевой категории класс объектов, Ext1-ортогональных слева к фиксированному объекту справа, замкнут относительно трансфинитно-итерированных расширений в смысле направленного прямого предела (тех из них, которые существуют, в смысле, существуют необходимые для их построения прямые пределы).
Доказательства следуют в русле теоремы 2.5 и леммы 4.4 работы J. Rosicky, "Flat covers and factorizations", Journ. of Algebra 253, 2002 (а также по ссылке от теоремы 2.5 и двойственной версии леммы 4.4).
Current mood: не зря съездил в Брно!