posic ([personal profile] posic) wrote2015-07-07 08:29 pm
Entry tags:

Некоммутативная рациональная теория гомотопий

Как известно, бар-кобар двойственность устанавливает эквивалентность между категорией аугментированных DG-алгебр, к которой добавлены формально обратные морфизмы к квазиизоморфизмам, и категорией конильпотентных DG-коалгебр, к которой добавлены формально обратные морфизмы к фильтрованным квазиизоморфизмам.

Рациональная теория гомотопий (допускающая в максимальной общности пространства с нильпотентной фундаментальной группой) есть эквивалентность между категорией аугментированных коммутативных DG-алгебр с когомологиями в положительных когомологических степениях, с обращенными квазиизоморфизмами, и категорией конильпотентных DG-коалгебр Ли, сосредоточенных в неотрицательных когомологических степенях, с обращенными квазиизоморфизмами (над полем характеристики нуль).

Некоммутативная рациональная теория гомотопий есть эквивалентность между категорией аугментированных DG-алгебр с когомологиями в положительных когомологических степенях, с обращенными квазиизоморфизмами, и категорией конильпотентных DG-коалгебр, сосредоточенных в неотрицательных когомологических степенях, с обращенными квазиизоморфизмами.

Таким образом, чтобы вывести некоммутативную рациональную теорию гомотопий (третий абзац) из бар-кобар двойственности для DG-алгебр и конильпотентных DG-коалгебр (первый абзац), нужно показать, что обращение фильтрованных квазиизоморфизмов между конильпотентными DG-коалгебрами приводит к обращению всех (не обязательно а приори фильтрованных) квазиизоморфизмов между конильпотентными DG-коалгебрами, сосредоточенными в неотрицательных когомологических степенях.

[identity profile] notnef-566.livejournal.com 2015-07-08 09:53 am (UTC)(link)
Интересно было бы определить в "некоммутативном" случае смешанную структуру Ходжа на этом деле. Не уверен, что она будет обязательно единственной.

[identity profile] posic.livejournal.com 2015-07-08 10:05 am (UTC)(link)
Это другая наука, некоммутативная теория мотивов. То, о чем пишет Гонсало Табуада и др. Ведь структуры Ходжа бывают на когомологиях алгебраических многообразий, что обобщается до некоммутативных алгебраических многообразий.

То же, о чем речь выше -- это некоммутативный аналог Com-Lie двойственности Квиллена, только сформулированный в максимальной общности в смысле нильпотентной фундаментальной группы (для каковой максимальной общности нужно с кольцом когомологий и кокольцом/коалгеброй Ли двойственных пространств к гомотопическим группам иметь дело). Никаких "топологических пространств", отдельных от "некоммутативных гомотопических типов", там нет, и тем более непонятно, что играло бы роль "многообразий".

У Табуады DG-алгебры и у меня DG-алгебры, это запутывает. Но у Табуады DG-алгебра -- это над которой DG-модули суть когерентные пучки на многообразии, а у меня DG-алгебра -- это которая когомологии своего пространства/гомотопического типа считает.

[identity profile] notnef-566.livejournal.com 2015-07-08 11:02 am (UTC)(link)
Так можно же взять разложение Ходжа непосредственно самого гомотопического типа (Делинь-Гриффитс-Морган-Салливан для комплексного проективного алгебраического многообразия)? А если взять пополнение Мальцева фундаментальной группы, то, на нем должна быть, вероятно, и смешанная структура Ходжа.

[identity profile] posic.livejournal.com 2015-07-08 11:08 am (UTC)(link)
На произвольном гомотопическом типе нет никакой структуры Ходжа. Структура Ходжа бывает на гомотопическом типе алгебраического многообразия.

[identity profile] notnef-566.livejournal.com 2015-07-08 11:42 am (UTC)(link)
Да, конечно. Я же и написал, что алгебраическое. То есть понятно, что у вас именно произвольный гомотопический тип, а если, скажем, ограничиться только теми типами, которые происходят из алгебраических многообразий?

[identity profile] posic.livejournal.com 2015-07-08 12:03 pm (UTC)(link)
Так я же и написал, что непонятно, что должно играть роль алгебраических многообразий в этом контексте. Там нет даже никаких топологических пространств, есть только некоммутативные гомотопические типы.

[identity profile] notnef-566.livejournal.com 2015-07-08 12:33 pm (UTC)(link)
Да, действительно непонятно. Но все равно спасибо: тут есть над чем подумать.