![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Еще одна контрапроизводная модельная структура?
Развитие постинга http://posic.livejournal.com/1024084.html
Пусть B -- CDG-кольцо; обозначим через Hot(B-mod) гомотопическую категорию левых CDG-модулей над B. Триангулированная категория Hot(B-mod) является гомотопической категорией следующей (стабильной) модельной структуры на абелевой категории Z0(B-mod) левых CDG-модулей над B и замкнутых морфизмов между ними: корасслоения суть инъективные морфизмы, являющиеся вложениями прямых слагаемых в категории градуированных B#-модулей; расслоения, аналогичным образом, суть сюръективные морфизмы, расщепимо сюръективные в категории градуированных B#-модулей; слабые эквивалентности суть просто гомотопические эквивалентности CDG-модулей.
Заметим, что подлежащая категория Z0(B-mod) абелева и эквивалентна категории градуированных модулей над подходящим кольцом (обозначаемым обычно через B~ = B[δ]). Вышеописанная модельная структура на ней не является "абелевой модульной структурой" (в смысле известного определения Hovey); это "точная модельная структура", согласованная со структурой точной категории на Z0(B-mod), в которой тройка CDG-модулей точна, если она расщепимо точна в категории градуированных B#-модулей. Тем не менее, это некоторая модельная структрура на абелевой категории Гротендика.
Соответственно, к триангулированной категории Hot(B-mod) применима теорема 2.4 из работы http://arxiv.org/abs/1106.2218 , согласно которой в гомотопической категории стабильной модельной структуры на локально представимой категории всякая полная триангулированная подкатегория, замкнутая относительно бесконечных произведений, является компонентой полуортогонального разложения (в предположении принципа Вопенки). В частности, это применимо к наименьшей полной триангулированной подкатегории в Hot(B-mod), замкнутой относительно бесконечных произведений и содержащей тотализации точных троек CDG-модулей над B. Применимо это и к каким-нибудь расширительным определениям подкатегории контраацикличных объектов, использующим трасфинитно-итерированные расширения, как описано в постинге по ссылке.
Что можно сказать о CDG-модуле, перпендикулярном слева ко всем тотализациям точных троек CDG-модулей? Ко всем трансфинитно-итерированым расширениям стягиваемых CDG-модулей и т.д.? Верно ли, что всякий такой CDG-модуль гомотопически эквивалентен CDG-модулю с проективным подлежащим градуированным B#-модулем?
Если нет, то не получается ли отсюда новый вариант "контрапроизводной модельной структуры" (ср. http://posic.livejournal.com/1023730.html и http://arxiv.org/abs/1205.4473 ) на категории CDG-модулей над B? Или даже серия из нескольких таких новых вариантов?
P.S. Заметим, что изложенный аргумент не выглядит прямо применимым к копроизводным модельным структурам, поскольку теоремы 3.7 и 3.9 из той же работы Casacuberta-Gutierrez-Rosicky гарантируют существование полуортогонального разложения с заданной компонентой -- полной триангулированной подкатегорией, замкнутой относительно бесконечных прямых сумм, только в предположениях, что эта подкатегория порождена множеством объектов или большая триангулированная категория является гомотопической категорией кофибрантно порожденной модельной структуры на локально представимой категории. Модельная структура на Z0(B-mod), о которой идет речь в начале этого постинга, не похожа на кофибрантно порожденную.
С другой стороны, вполне удовлетворительное описание копроизводной модельной структуры для CDG-модулей над произвольным CDG-кольцом можно получить средствами из работы Ханно Беккера (по существу, у него это все написано); так что методы, основанные на принципе Вопенки, для копроизводных категорий, может быть, просто и не нужны.
Пусть B -- CDG-кольцо; обозначим через Hot(B-mod) гомотопическую категорию левых CDG-модулей над B. Триангулированная категория Hot(B-mod) является гомотопической категорией следующей (стабильной) модельной структуры на абелевой категории Z0(B-mod) левых CDG-модулей над B и замкнутых морфизмов между ними: корасслоения суть инъективные морфизмы, являющиеся вложениями прямых слагаемых в категории градуированных B#-модулей; расслоения, аналогичным образом, суть сюръективные морфизмы, расщепимо сюръективные в категории градуированных B#-модулей; слабые эквивалентности суть просто гомотопические эквивалентности CDG-модулей.
Заметим, что подлежащая категория Z0(B-mod) абелева и эквивалентна категории градуированных модулей над подходящим кольцом (обозначаемым обычно через B~ = B[δ]). Вышеописанная модельная структура на ней не является "абелевой модульной структурой" (в смысле известного определения Hovey); это "точная модельная структура", согласованная со структурой точной категории на Z0(B-mod), в которой тройка CDG-модулей точна, если она расщепимо точна в категории градуированных B#-модулей. Тем не менее, это некоторая модельная структрура на абелевой категории Гротендика.
Соответственно, к триангулированной категории Hot(B-mod) применима теорема 2.4 из работы http://arxiv.org/abs/1106.2218 , согласно которой в гомотопической категории стабильной модельной структуры на локально представимой категории всякая полная триангулированная подкатегория, замкнутая относительно бесконечных произведений, является компонентой полуортогонального разложения (в предположении принципа Вопенки). В частности, это применимо к наименьшей полной триангулированной подкатегории в Hot(B-mod), замкнутой относительно бесконечных произведений и содержащей тотализации точных троек CDG-модулей над B. Применимо это и к каким-нибудь расширительным определениям подкатегории контраацикличных объектов, использующим трасфинитно-итерированные расширения, как описано в постинге по ссылке.
Что можно сказать о CDG-модуле, перпендикулярном слева ко всем тотализациям точных троек CDG-модулей? Ко всем трансфинитно-итерированым расширениям стягиваемых CDG-модулей и т.д.? Верно ли, что всякий такой CDG-модуль гомотопически эквивалентен CDG-модулю с проективным подлежащим градуированным B#-модулем?
Если нет, то не получается ли отсюда новый вариант "контрапроизводной модельной структуры" (ср. http://posic.livejournal.com/1023730.html и http://arxiv.org/abs/1205.4473 ) на категории CDG-модулей над B? Или даже серия из нескольких таких новых вариантов?
P.S. Заметим, что изложенный аргумент не выглядит прямо применимым к копроизводным модельным структурам, поскольку теоремы 3.7 и 3.9 из той же работы Casacuberta-Gutierrez-Rosicky гарантируют существование полуортогонального разложения с заданной компонентой -- полной триангулированной подкатегорией, замкнутой относительно бесконечных прямых сумм, только в предположениях, что эта подкатегория порождена множеством объектов или большая триангулированная категория является гомотопической категорией кофибрантно порожденной модельной структуры на локально представимой категории. Модельная структура на Z0(B-mod), о которой идет речь в начале этого постинга, не похожа на кофибрантно порожденную.
С другой стороны, вполне удовлетворительное описание копроизводной модельной структуры для CDG-модулей над произвольным CDG-кольцом можно получить средствами из работы Ханно Беккера (по существу, у него это все написано); так что методы, основанные на принципе Вопенки, для копроизводных категорий, может быть, просто и не нужны.