Нелокальность контрагерентности

[posic]

Развитие http://posic.livejournal.com/785807.html

Следующий контрпример показывает, что
1. свойство копучка модулей над структурным пучком схемы быть контрагерентным нелокально (локальная контрагерентность не влечет глобальную);
2. свойство морфизма контрагерентных копучков быть допустимым мономорфизмом (или, что все равно, мономорфизмом на всех модулях косечений над аффинными открытыми подсхемами) нелокально (опять же, может быть выполнено локально, но не глобально).

Проблема возникает уже в случае гладких кривых (над алгебраически замкнутым полем, например). Контрагерентные копучки локально кокручения имеют ту же проблему. Локально инъективные контрагерентные копучки имеют ту же проблему.

Вот как строятся эти примеры. Пусть A -- коммутативное кольцо, f и g -- два элемента A, порождающие единичный идеал. Пусть K -- какой-нибудь A-модуль, в котором нет ни бесконечно f-делимых, ни бесконечно g-делимых элементов, т.е. Hom_A(A[f⁻¹],K) = 0 = Hom_A(A[g⁻¹],K).

Пусть K → P -- вложение K в контраприспособленный А-модуль P, и пусть Q -- коядро этого вложения. Тогда Q -- тоже контраприспособленный A-модуль. Можно считать A кольцом гомологической размерности 1, и тогда если P -- A-модуль кокручения или инъективный А-модуль, то тем же свойством обладает и Q.

Рассмотрим морфизм контрагерентных копучков на Spec A, связанный с морфизмом контраприспособленных A-модулей P → Q. В ограничении на покрытие Spec A главными аффинными открытыми подмножествами Spec A[f⁻¹] и Spec A[g⁻¹], мы получаем два морфизма контрагерентных копучков, связанных с морфизмами контраприспособленных модулей Hom_A(A[f⁻¹],P) → Hom_A(A[f⁻¹],Q) и Hom_A(A[g⁻¹],P) → Hom_A(A[g⁻¹],Q) над A[f⁻¹] и A[g⁻¹]. Ввиду условия, наложенного на ядро K морфизма P → Q, указанные два морфизма контраприспособленных модулей инъективны.

Контрпример к пункту 2. выше получен; построим теперь контрпример к 1. Обозначим коядра наших двух вложений A[f⁻¹]- и A[g⁻¹]-модулей через R^(f) и R^(g). Тогда 0 → Hom_A(A[f⁻¹],P) → Hom_A(A[f⁻¹],Q) → R^(f) → 0 и 0 → Hom_A(A[g⁻¹],P) → Hom_A(A[g⁻¹],Q) → R^(g) → 0 -- короткие точные последовательности контраприспособленных модулей. Если модули P и Q над A были модулями кокручения или инъективными модулями, это даже короткие точные последовательности модулей кокручения или инъективных модулей, соответственно.

Применим к первой из этих двух точных последовательностей функтор Hom_A[f⁻¹](A[f⁻¹,g⁻¹],−), а ко второй -- функтор Hom_A[g⁻¹](A[f⁻¹,g⁻¹],−). Получатся две изоморфные точные последовательности модулей над A[f⁻¹,g⁻¹], поскольку изоморфны их левые (инъективные) составляющие морфизмы. Мы построили естественный изоморфизм A[f⁻¹,g⁻¹]-модулей Hom_A[f⁻¹](A[f⁻¹,g⁻¹], R^(f)) = Hom_A[g⁻¹](A[f⁻¹,g⁻¹], R^(g)). Обозначим модуль, равный обеим сторонам этого изоморфизма, через R^(f,g).

Наконец, рассмотрим две точные последовательности Чеха 0 → Hom_A(A[f⁻¹,g⁻¹], P) → Hom_A(A[f⁻¹],P) ⊕ Hom_A(A[g⁻¹],P) → P → 0 и 0 → Hom_A(A[f⁻¹,g⁻¹], Q) → Hom_A(A[f⁻¹],Q) ⊕ Hom_A(A[g⁻¹],Q) → Q → 0, и естественный морфизм между ними. Соответствующая шестичленная последовательность ядер и коядер сводится к короткой точной последовательности A-модулей 0 → K → R^(f,g) → R^(f) ⊕ R^(g) → 0.

Заметим, что в категории копучков модулей над пучком колец существуют коядра всех морфизмов, и функторы косечений копучков над открытыми подмножествами коммутируют с коядрами. Мы показали, что коядро морфизма контрагерентных копучков на Spec A, связанного с морфизмом контраприспособленных A-модулей P → Q, взятое в категории всех копучков модулей над структурным пучком спектра A, является ненулевым контрагерентным копучком в ограничении на Spec A[f⁻¹] и Spec A[g⁻¹], но модуль косечений его над Spec A равен нулю. Это доставляет искомый контрпример к пункту 1.