![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
АТ-мотивные пучки, замена коэффициентов и корни из единицы
Вот чего недостает в моей статье про Артин-Тейтовские мотивные пучки.
Пусть есть многообразие X и натуральное число m, для них соответствующая точная категория FXm. Если m делится на n, то из FXm в FXn действует естественный функтор редукции коэффициентов, переводящий фильтрованный этальный пучок M в пучок M/nM = (m/n)M с индуцированной фильтрацией.
Пусть теперь m = m'm'', и пусть M, N -- два объекта FXm. Как насчет длинной точной последовательности
... → ExtFXm'i(M/m'M, N/m'N) → ExtFXmi(M, N) → ExtFXm''i(M/m''M, N/m''N) → ExtFXm'i+1(M/m'M, N/m'N) → ... ?
Зачем это мне нужно: если немножко подумать, то в формулировке "K(π,1)-гипотеза для мотивов Артина-Тейта над полем K эквивалентна подходящей гипотезе кошулевости, если K содержит нужный корень из единицы" последнее условие все-таки лишнее. Оно у меня живет как рудимент эпохи, когда рассматривались прежде всего тейтовские, а не артин-тейновские мотивы.
Вернее, если под "мотивами Артина" понимаются мотивы полей, промежуточных между K и фиксированным L, то корень из единицы должен содержаться в L, но не обязательно в K. В ситуации же с категорией FXm для X = Spec K, в роли L у нас алгебраическое замыкание K, так что условие тривиализуется.
Но верно это в той мере, в которой циклотомическое представление группы Галуа поля K является прямым слагаемым перестановочного. Т.е. только в случае, когда порядок коэффициентов m -- простое число. Поэтому интерпретировать в терминах кошулевости K(π,1)-гипотезу для мотивов Артина-Тейта над полем K c непростыми коэффициентами Z/m в отсутствие в K корня из единицы напрямую все же нельзя, а нужно сначала свести ее к случаю простых делителей m, а потом уже можно интерпретировать.
И вот для этого сведения мне пригодилась бы длинная точная последовательность выше.
Пусть есть многообразие X и натуральное число m, для них соответствующая точная категория FXm. Если m делится на n, то из FXm в FXn действует естественный функтор редукции коэффициентов, переводящий фильтрованный этальный пучок M в пучок M/nM = (m/n)M с индуцированной фильтрацией.
Пусть теперь m = m'm'', и пусть M, N -- два объекта FXm. Как насчет длинной точной последовательности
... → ExtFXm'i(M/m'M, N/m'N) → ExtFXmi(M, N) → ExtFXm''i(M/m''M, N/m''N) → ExtFXm'i+1(M/m'M, N/m'N) → ... ?
Зачем это мне нужно: если немножко подумать, то в формулировке "K(π,1)-гипотеза для мотивов Артина-Тейта над полем K эквивалентна подходящей гипотезе кошулевости, если K содержит нужный корень из единицы" последнее условие все-таки лишнее. Оно у меня живет как рудимент эпохи, когда рассматривались прежде всего тейтовские, а не артин-тейновские мотивы.
Вернее, если под "мотивами Артина" понимаются мотивы полей, промежуточных между K и фиксированным L, то корень из единицы должен содержаться в L, но не обязательно в K. В ситуации же с категорией FXm для X = Spec K, в роли L у нас алгебраическое замыкание K, так что условие тривиализуется.
Но верно это в той мере, в которой циклотомическое представление группы Галуа поля K является прямым слагаемым перестановочного. Т.е. только в случае, когда порядок коэффициентов m -- простое число. Поэтому интерпретировать в терминах кошулевости K(π,1)-гипотезу для мотивов Артина-Тейта над полем K c непростыми коэффициентами Z/m в отсутствие в K корня из единицы напрямую все же нельзя, а нужно сначала свести ее к случаю простых делителей m, а потом уже можно интерпретировать.
И вот для этого сведения мне пригодилась бы длинная точная последовательность выше.