![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
AS-горенштейновы коалгебры и двойственность
Если C -- коалгебра многочленов (т.е., коалгебра, двойственная к алгебре формальных степенных рядов) от конечного числа d коммутирующих переменных над полем k, то для любого C-комодуля (сколь угодно бесконечномерного; или даже для неограниченного комплекса C-комодулей) М спаривание со значениями в ExtCd(k,k) определяет изоморфизм
ExtCd-i(M,k) ≅ ExtCi(k,M)*.
Чтобы доказать это, можно заметить, что контравариантные функторы с обеих сторон отображения переводят прямые суммы комплексов комодулей M в прямые произведения пространств Ext, ну и согласованы со сдвигами и конусами тоже. А копроизводная категория C-комодулей (совпадающая с производной категорией C-комодулей ввиду конечности гомологической размерности C) компактно порождена комодулем k. Другой способ -- написать изоморфизмы
ExtC(M,k)[-d] = CoextC(M,RΨC(k))[-d] = CoextC(M,k) = CotorC(k,M)* = ExtC(k,M)*.
Все то же самое применимо к любой AS-горенштейновой конильпотентной коалгебре, разумеется.
ExtCd-i(M,k) ≅ ExtCi(k,M)*.
Чтобы доказать это, можно заметить, что контравариантные функторы с обеих сторон отображения переводят прямые суммы комплексов комодулей M в прямые произведения пространств Ext, ну и согласованы со сдвигами и конусами тоже. А копроизводная категория C-комодулей (совпадающая с производной категорией C-комодулей ввиду конечности гомологической размерности C) компактно порождена комодулем k. Другой способ -- написать изоморфизмы
ExtC(M,k)[-d] = CoextC(M,RΨC(k))[-d] = CoextC(M,k) = CotorC(k,M)* = ExtC(k,M)*.
Все то же самое применимо к любой AS-горенштейновой конильпотентной коалгебре, разумеется.