![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Тензорное произведение точных категорий с приложениями к неплоской кошулевости
Пусть E' и E'' -- k-линейные точные категории, причем k-модули Ext в категории E' плоские. Тогда точную категорию E'⊗kE'' можно построить таким образом.
Пусть DG(E') и DG(E'') -- DG-категории ограниченных (с обеих сторон) комплексов над E' и E''. Заменим DG-категорию DG(E'') на квазиизоморфную DG-категорию DG'' с гомотопически k-плоскими комплексами морфизмов. Применим к DG-категориям DG(E') и DG'' конструкцию локализации по Дринфельду по отношению к подкатегориям ацикличных комплексов, полученные DG-категории тензорно перемножим над k, и к результату добавим конуса всех замкнутых морфизмов (итерировано). В результате получится DG-категория D вместе с k-билинейным функтором E'×E'' → H0(D). Морфизмы между сдвигами образов объектов из E'×E'' в H0(D) суть тензорные произведения градуированных k-модулей Ext в E' и E''. Осталось породить образом этого функтора точную подкатегорию в триангулированной категории H0(D).
Без условия плоскости эта конструкция не проходит, поскольку в H0(D) могут появиться морфизмы с отрицательными номерами между образами объектов из E'×E''.
В частности, таким образом можно тензорно помножить k-линейную точную категорию E на (не обязательно даже коммутативную) плоскую k-алгебру R. Совершенные комплексы R-модулей при этом можно не рассматривать, а просто построить по точной категории E DG-оснащение ее производной категории, помножить тензорно на R и замкнуть относительно конусов.
Мне кажется, из этой конструкции следует, что
1. Если A -- кошулево (большое) кольцо, без каких-либо условий плоскости, но со структурой k-алгебры, и R -- плоская k-алгебра, то (большое) кольцо R⊗kA тоже кошулево;
2. Если k-алгебра R строго плоская, то верна и обратная импликация.
Update: нет, все-таки не следует, конечно. Сохранение глупых фильтраций при конструкции тензорного произведения для DG-категорий проверять нужно.
Пусть DG(E') и DG(E'') -- DG-категории ограниченных (с обеих сторон) комплексов над E' и E''. Заменим DG-категорию DG(E'') на квазиизоморфную DG-категорию DG'' с гомотопически k-плоскими комплексами морфизмов. Применим к DG-категориям DG(E') и DG'' конструкцию локализации по Дринфельду по отношению к подкатегориям ацикличных комплексов, полученные DG-категории тензорно перемножим над k, и к результату добавим конуса всех замкнутых морфизмов (итерировано). В результате получится DG-категория D вместе с k-билинейным функтором E'×E'' → H0(D). Морфизмы между сдвигами образов объектов из E'×E'' в H0(D) суть тензорные произведения градуированных k-модулей Ext в E' и E''. Осталось породить образом этого функтора точную подкатегорию в триангулированной категории H0(D).
Без условия плоскости эта конструкция не проходит, поскольку в H0(D) могут появиться морфизмы с отрицательными номерами между образами объектов из E'×E''.
В частности, таким образом можно тензорно помножить k-линейную точную категорию E на (не обязательно даже коммутативную) плоскую k-алгебру R. Совершенные комплексы R-модулей при этом можно не рассматривать, а просто построить по точной категории E DG-оснащение ее производной категории, помножить тензорно на R и замкнуть относительно конусов.
Мне кажется, из этой конструкции следует, что
1. Если A -- кошулево (большое) кольцо, без каких-либо условий плоскости, но со структурой k-алгебры, и R -- плоская k-алгебра, то (большое) кольцо R⊗kA тоже кошулево;
2. Если k-алгебра R строго плоская, то верна и обратная импликация.
Update: нет, все-таки не следует, конечно. Сохранение глупых фильтраций при конструкции тензорного произведения для DG-категорий проверять нужно.