![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Функториальные упроектирования DG-категорий II
Конструкция упроектирования, изложенная здесь, по-прежнему кажется мне правильной, но теперь я думаю, что почти столь же хорошего результата можно добиться простым известным способом. Существует функтор, сопоставляющий DG-алгебре A над k ее кофибрантную резольвенту C(A). При этом квазиизоморфизм DG-алгебр C(A) → A можно сделать имеющим естественное сечение A → C(A), переводящее ноль в ноль и коммутирующее с дифференциалом. Единственный недостаток этой конструкции по сравнению с намеченной по ссылке в том, что это сечение не мультипликативно (что является обратной стороной преимущества кофибрантных DG-алгебр над k над DG-алгебрами, кофибрантными как комплексы k-модулей).
Функториальная кофибрантная резольвента строится так. DG-алгебра C_1(A), как градуированная k-алгебра, свободно порождена образующими, соответствующими однородным элементам A; образующие, соответствующие нулевым однородным элементам, объявлены равными нулю (т.е. по порожденному ими идеалу профакторизовано). Дифференциал образующей C1(A) равен другой соответствующей образующей. Чтобы получить DG-алгебру Cn+1(A), нужно добавить к Cn(A) по одной образующей для каждой пары (однородный коцикл в Cn(A); однородная коцепь в A, заклеивающая образ этого коцикла).
P.S. Но этого "почти столь же хорошего" результата недостаточно для моих целей конструкции комплексов, вычисляющих Ext в точной категории. В отсутствие мультипликативности сечения, индуцированные отображения между комплексами Ext перестают быть согласованными с композицией морфизмов в точной категории; и аксиому про ацикличность тотального комплекса бикомплекса, связанного с точной тройкой, становится невозможно даже сформулировать (композиция перестает быть равной нулю).
Функториальная кофибрантная резольвента строится так. DG-алгебра C_1(A), как градуированная k-алгебра, свободно порождена образующими, соответствующими однородным элементам A; образующие, соответствующие нулевым однородным элементам, объявлены равными нулю (т.е. по порожденному ими идеалу профакторизовано). Дифференциал образующей C1(A) равен другой соответствующей образующей. Чтобы получить DG-алгебру Cn+1(A), нужно добавить к Cn(A) по одной образующей для каждой пары (однородный коцикл в Cn(A); однородная коцепь в A, заклеивающая образ этого коцикла).
P.S. Но этого "почти столь же хорошего" результата недостаточно для моих целей конструкции комплексов, вычисляющих Ext в точной категории. В отсутствие мультипликативности сечения, индуцированные отображения между комплексами Ext перестают быть согласованными с композицией морфизмов в точной категории; и аксиому про ацикличность тотального комплекса бикомплекса, связанного с точной тройкой, становится невозможно даже сформулировать (композиция перестает быть равной нулю).