![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Ну, артин-тейтовские мотивные пучки. Дальше что?
Короткий ответ: непонятно.
Длинный ответ: может быть, первое, чему нас должен научить этот сюжет, это то, что подход к гипотезе М.-Б.-К. из нашей с Сашей В. работы 95-го года может/должен применяться не к алгебре Милнора поля, а к алгебре диагональных Ext-ов между мотивами Артина-Тейта, связанными с произвольными (конечными сепарабельными) расширениями этого поля.
Пусть F -- поле, не имеющее алгебраических расширений степени, взаимно-простой с простым числом l, не равным его характеристике. Рассмотрим следующую большую градуированную алгебру/предаддитивную категорию A. Индексы/объекты соответствуют конечным сепарабельным расширениям F. Компонента А, соответствующая паре полей E', E'' над F в градуировке n, есть прямая сумма KMn/l от прямых слагаемых разложения E'⊗FE'' в прямую сумму полей. Это то же самое, что Hom в производной категории мотивов над F с Z/l-коэффициентами между мотивом спектра E' и мотивом спектра E'', подкрученным на (n) и сдвинутым на [n].
Заменим компоненту A0 (в которой сидят операторы, связанные с действием вложений, трансферов и групп Галуа на милноровской K-теории) на тривиальное большое кольцо A'0, в котором паре полей E', E'' соответствует группа Z/l, если эти поля совпадают, и 0 иначе. Пусть A' -- большое кольцо, полученное из A такой заменой нулевой компоненты (при сохранении всех компонент положительной градуировки неизменными). Большие кольца A и A' кошулевы одновременно, но для кольца A' легче понять, что кошулевость означает.
Допустим, что отображение символа Галуа/норменного вычета для конечных расширений поля F является изоморфизмом в степени 2 (это теорема Меркурьева-Суслина) и мономорфизмом в степени 3 (с этим сложнее, но так или иначе теперь это уже тоже известно). Тогда если большое кольцо A или A' кошулево, то гипотеза М.-Б.-К. для поля F следует из теоремы в секции 8 статьи про мотивы Артина-Тейта.
Может быть, кошулевость А или A' доказать легче, чем кошулевость KM(F)/l?
Длинный ответ: может быть, первое, чему нас должен научить этот сюжет, это то, что подход к гипотезе М.-Б.-К. из нашей с Сашей В. работы 95-го года может/должен применяться не к алгебре Милнора поля, а к алгебре диагональных Ext-ов между мотивами Артина-Тейта, связанными с произвольными (конечными сепарабельными) расширениями этого поля.
Пусть F -- поле, не имеющее алгебраических расширений степени, взаимно-простой с простым числом l, не равным его характеристике. Рассмотрим следующую большую градуированную алгебру/предаддитивную категорию A. Индексы/объекты соответствуют конечным сепарабельным расширениям F. Компонента А, соответствующая паре полей E', E'' над F в градуировке n, есть прямая сумма KMn/l от прямых слагаемых разложения E'⊗FE'' в прямую сумму полей. Это то же самое, что Hom в производной категории мотивов над F с Z/l-коэффициентами между мотивом спектра E' и мотивом спектра E'', подкрученным на (n) и сдвинутым на [n].
Заменим компоненту A0 (в которой сидят операторы, связанные с действием вложений, трансферов и групп Галуа на милноровской K-теории) на тривиальное большое кольцо A'0, в котором паре полей E', E'' соответствует группа Z/l, если эти поля совпадают, и 0 иначе. Пусть A' -- большое кольцо, полученное из A такой заменой нулевой компоненты (при сохранении всех компонент положительной градуировки неизменными). Большие кольца A и A' кошулевы одновременно, но для кольца A' легче понять, что кошулевость означает.
Допустим, что отображение символа Галуа/норменного вычета для конечных расширений поля F является изоморфизмом в степени 2 (это теорема Меркурьева-Суслина) и мономорфизмом в степени 3 (с этим сложнее, но так или иначе теперь это уже тоже известно). Тогда если большое кольцо A или A' кошулево, то гипотеза М.-Б.-К. для поля F следует из теоремы в секции 8 статьи про мотивы Артина-Тейта.
Может быть, кошулевость А или A' доказать легче, чем кошулевость KM(F)/l?