Производные категории второго рода в смысле Беккера и моем

[posic]

У меня получается длинная книжная рукопись на две основные темы, главную и побочную. Главная -- это, конечно, контрагерентные копучки. А побочная -- это как между собой соотносятся производные категории второго рода в моем смысле и в смысле Беккера. Те и другие подробно обсуждаются в тексте, и делается попытка доказывать многие результаты одновременно и параллельно для тех и для других.

Дисклеймер: до сих пор неизвестно ни одного контрпримера, который показывал бы, что ко/контрапроизводная категория в моем смысле может отличаться от ко/контрапроизводной категории в смысле Беккера (в области разумной применимости обеих конструкций). Нет и доказательства того, что они совпадают в сколько-нибудь полной общности (даже для категорий модулей над кольцами). Но рабочая гипотеза, из которой я в последнее время исхожу, состоит в том, что эти два подхода к определению производных категорий второго рода не обязательно дают одинаковые результаты.

На основании опыта работы над книжной рукописью, дело сейчас выглядит следующим образом. Копроизводную категорию в моем смысле можно определить для любой точной категории, хотя разумным представляется потребовать, чтобы в ней существовали бесконечные копроизведения и функторы таких копроизведений были точны. Копроизводную категорию в смысле Беккера тоже можно определить для любой точной категории, хотя разумным представляется потребовать, чтобы в ней было достаточно много инъективных объектов. Условия это разные, хотя взаимосвязь между ними имеется (если бесконечные копроизведения существуют и инъективных объектов достаточно много, то бесконечные копроизведения точны).

Всякий комплекс, коацикличный в моем смысле, коацикличен в смысле Беккера. Обратное неизвестно. Всякий комплекс, коацикличный в моем смысле, ацикличен (если функторы бесконечных копроизведений точны). Верно ли при разумных предположениях, и при каких именно, что всякий комплекс, коацикличный в смысле Беккера, ацикличен -- уже открытый вопрос.

Всякий точный функтор между точными категориями, сохраняющий бесконечные копроизведения, сохраняет коацикличность в моем смысле. Чтобы доказать, что точный функтор между точными категориями сохраняет коацикличность в смысле Беккера, приходится предполагать, что у него есть правый сопряженный функтор (лучше я в общем случае не умею). Это намного более ограничительное условие, особенно, когда категории не абелевы, а именно точные.

Есть общие теоремы о сохранении производных категорий второго рода в моем смысле при переходе к (ко)разрешающим подкатегориям. В некотором виде, соответствующие результаты теперь известны и для производных категорий второго рода в смысле Беккера, но там бывают нужны более сильные накладываемые условия.

В целом впечатление такое, что конструкции производных категорий второго рода в моем смысле ведут себя более регулярно, что ли, и применимы к широким классам точных категорий. Теоремы, гарантирующие хорошее поведение, можно про них доказывать в большой теоретико-категорной общности с помощью стандартного комплекта приемов и рассуждений. Я занимался разработкой этой техники и в немалой степени преуспел.

Ко/контрапроизводные категории второго рода в смысле Беккера более капризны, что ли, и требуют неожиданных рассуждений ad hoc для доказательства своих простейших свойств. При этом для самых интересных точных и абелевых категорий, возникающих в теории колец и (очень алгебраической) алгебраической геометрии, результаты, которые удается доказать с помощью этих рассуждений ad hoc для ко/контрапроизводных категорий в смысле Беккера -- лучше, чем те, что удается получить регулярным, стандартным образом для ко/контрапроизводных категорий в моем смысле.

Comments

[i_anatta]

А вы не знаете, насколько неверно такое?

Предположение. Для кольца R, над которым счётные суммы инъективных имеют конечную размерность, следующие два свойства эквивалентны:

а) все комплексы проективных модулей гомотопически проективны;

б) любой ацикличный комплекс проективных модулей стягиваем?

Недавно Ларс Кристенсен доказал, что если R коммутативное нётерово, то эти два свойства эквивалентны друг другу, и следующим двум:

в) все комплексы компактных проективных модулей гомотопически проективны;

г) R регулярно.

Его доказательство, конечно, использует Ауслендера-Бухсбаума, и прочие приятные коммутативные теоремы; но было бы приятно узнать, насколько свойства а) и б) независимы в более общем случае.

(Некоторые довольно мутные рассуждения навели меня на мысль, что раз свойства такого сорта часто удобно доказывать, если пользоваться не всегда присутствующей точностью произведений в категории когерентных функторов Fun^+(mod-R, Ab),то, возможно, некоторые конструкции, требующие точности произведений, можно заменить на вычисления в Бекеровской контрапроизводной категории от когерентных функторов, но нужно что-то понимать про локализацию из гомотопической категории в Бекеровскую...)