Производные категории второго рода в смысле Беккера и моем

[posic]

У меня получается длинная книжная рукопись на две основные темы, главную и побочную. Главная -- это, конечно, контрагерентные копучки. А побочная -- это как между собой соотносятся производные категории второго рода в моем смысле и в смысле Беккера. Те и другие подробно обсуждаются в тексте, и делается попытка доказывать многие результаты одновременно и параллельно для тех и для других.

Дисклеймер: до сих пор неизвестно ни одного контрпримера, который показывал бы, что ко/контрапроизводная категория в моем смысле может отличаться от ко/контрапроизводной категории в смысле Беккера (в области разумной применимости обеих конструкций). Нет и доказательства того, что они совпадают в сколько-нибудь полной общности (даже для категорий модулей над кольцами). Но рабочая гипотеза, из которой я в последнее время исхожу, состоит в том, что эти два подхода к определению производных категорий второго рода не обязательно дают одинаковые результаты.

На основании опыта работы над книжной рукописью, дело сейчас выглядит следующим образом. Копроизводную категорию в моем смысле можно определить для любой точной категории, хотя разумным представляется потребовать, чтобы в ней существовали бесконечные копроизведения и функторы таких копроизведений были точны. Копроизводную категорию в смысле Беккера тоже можно определить для любой точной категории, хотя разумным представляется потребовать, чтобы в ней было достаточно много инъективных объектов. Условия это разные, хотя взаимосвязь между ними имеется (если бесконечные копроизведения существуют и инъективных объектов достаточно много, то бесконечные копроизведения точны).

Всякий комплекс, коацикличный в моем смысле, коацикличен в смысле Беккера. Обратное неизвестно. Всякий комплекс, коацикличный в моем смысле, ацикличен (если функторы бесконечных копроизведений точны). Верно ли при разумных предположениях, и при каких именно, что всякий комплекс, коацикличный в смысле Беккера, ацикличен -- уже открытый вопрос.

Всякий точный функтор между точными категориями, сохраняющий бесконечные копроизведения, сохраняет коацикличность в моем смысле. Чтобы доказать, что точный функтор между точными категориями сохраняет коацикличность в смысле Беккера, приходится предполагать, что у него есть правый сопряженный функтор (лучше я в общем случае не умею). Это намного более ограничительное условие, особенно, когда категории не абелевы, а именно точные.

Есть общие теоремы о сохранении производных категорий второго рода в моем смысле при переходе к (ко)разрешающим подкатегориям. В некотором виде, соответствующие результаты теперь известны и для производных категорий второго рода в смысле Беккера, но там бывают нужны более сильные накладываемые условия.

В целом впечатление такое, что конструкции производных категорий второго рода в моем смысле ведут себя более регулярно, что ли, и применимы к широким классам точных категорий. Теоремы, гарантирующие хорошее поведение, можно про них доказывать в большой теоретико-категорной общности с помощью стандартного комплекта приемов и рассуждений. Я занимался разработкой этой техники и в немалой степени преуспел.

Ко/контрапроизводные категории второго рода в смысле Беккера более капризны, что ли, и требуют неожиданных рассуждений ad hoc для доказательства своих простейших свойств. При этом для самых интересных точных и абелевых категорий, возникающих в теории колец и (очень алгебраической) алгебраической геометрии, результаты, которые удается доказать с помощью этих рассуждений ad hoc для ко/контрапроизводных категорий в смысле Беккера -- лучше, чем те, что удается получить регулярным, стандартным образом для ко/контрапроизводных категорий в моем смысле.

Comments

[posic]

Мне кажется, свойства а) и б) очевидным образом эквивалентны для любого кольца.

а) => б) Рассмотрим ацикличный комплекс проективных модулей P. По предположению, все комплексы проективных модулей над нашим кольцом R гомотопически проективны. Значит, мы имеем дело с ацикличным гомотопически проективным комплексом Р. По определению, все морфизмы комплексов из гомотопически проективного комплекса в ацикличный комплекс гомотопны нулю. Значит, тождественный эндоморфизм нашего комплекса P гомотопен нулю, т.е., комплекс P стягиваем.

б) => а) Пусть Р -- комплекс проективных модулей над кольцом R. Для всякого комплекса R-модулей M существует гомотопически проективный комплекс проективных R-модулей F вместе с квазиизоморфизмом комплексов R-модулей F --> M (это стандартный базовый факт про гомотопически проективные комплексы модулей, восходящий к классической статье Спалтенштейна). В частности, мы имеем квазиизоморфизм комплексов R-модулей F --> P, где F -- подходящий гомотопически проективный комплекс проективных R-модулей. Теперь конус C морфизма комплексов R-модулей F --> P является ацикличным (т.к. F --> P квазиизоморфизм) комплексом проективных R-модулей (т.к. F и P -- оба комплексы проективных R-модулей). По предположению, отсюда следует, что комплекс R-модулей C стягиваем.

Теперь мы знаем, что F --> P -- морфизм комплексов R-модулей со стягиваемым конусом, т.е., гомотопическая эквивалентность комплексов R-модулей. Наконец, любой комплекс, гомотопически эквивалентный гомотопически проективному комплексу R-модулей, гомотопически проективен (как следует сразу из определения). Поскольку F -- гомотопически проективный комплекс, а комплекс P гомотопически эквивалентен F, то комплекс P тоже гомотопически проективен.

[i_anatta]

Ох, прошу прощения! Конечно, а) и б) эквивалентны, но я переставил в голове а) с в), когда пытался сделать комментарий читаемым, но не сделал этого в тексте...

Вопрос, который (возможно) неочевиден, и который я и хотел задать - правда ли, что из в) следует б) в этих предположениях.

Ну, или если говорить более неформально: правда ли, что стягиваемость комплексов проективных контролируется комплексами размера < \kappa? И что нужно требовать от кольца, чтобы это было верно? (Этакий аналог теоремы Капланского, которая о том, что неразложимый проективный модуль над кольцом не более чем счетно порождён.)

[posic]

Прошу прощения; теперь уже я совершенно запутался в буквах а), б) и в). Давайте я попробую еще раз новым комментом.

Этажом выше показано, что а) и б) эквивалентны. Покажем, что в) влечет а), для любого кольца. Я бы выводил это утверждение из такого несложного наблюдения (Неемана-Штовичка): всякий комплекс проективных модулей является прямым слагаемым комплекса, фильтрованного (ограниченными снизу в когомологической градуировке) комплексами конечно-порожденных свободных модулей.

Здесь слово "фильтрованный" означает возрастающую фильтрацию, занумерованную каким-то ординалом. А выражение "фильтрованный чем-то" означает существование фильтрации с присоединенными факторами указанного типа. Объект F абелевой категории (скажем, с точными прямыми пределами, как у нас, когда это категория комплексов модулей) называется фильтрованным объектами из класса S, если на F есть возрастающая фильтрация, занумерованная ординалом, присоединенные факторы по которой изоморфны объектам из S.

Не очень трудно убедиться (упражнение), что всякий комплекс, фильтрованный гомотопически проективными комплексами проективных модулей, является гомотопически проективным комплексом (проективных модулей). По науке это объясняется тем, что класс всех гомотопически проективных комплексов проективных модулей является левой стороной некоторой пары кокручения в категории всех комплексов модулей, так что применима лемма Эклёфа (см. статью Eklof, Trlifaj "How to make Ext vanish"). Ну, и прямое слагаемое гомотопически проективного комплекса -- конечно, тоже гомотопически проективный комплекс.

Теперь если все ограниченные снизу комплексы конечно-порожденных свободных модулей гомотопически проективны, то и все комплексы проективных модулей гомотопически проективны, т.к. последние всегда являются прямыми слагаемыми комплексов, фильтрованных первыми.

[i_anatta]

Большое спасибо! Моё понимание происходящего, кажется, значительно улучшилось.

(Наверное, стоит перечитывать How to make Ext vanish до тех пор, пока все в ней написанное не станет вещами очевидными...)