![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Математика: гипотеза Богомолова-Шафаревича
Знаменитая гипотеза Шафаревича утверждает, что абсолютная группа Галуа кругового поля (максимального абелева расширения поля рациональных чисел) -- свободная проконечная группа. Как обобщить эту гипотезу на произвольные поля?
В таком виде это трудный вопрос, но можно попытаться разобрать его по кусочкам. Прежде всего, ограничимся для простоты счетными полями. Тогда свободность абсолютной группы Галуа эквивалентна разрешимости (в собственном смысле, т.е. в классе полей) всех задач погружения. Если все задачи погружения разрешимы в несобственном смысле, абсолютная группа Галуа (по определению называется) проективной.
Проконечная группа проективна титт когда всякий сюръективный гомоморфизм на нее из какой-либо проконечной группы расщепляется, титт когда она является подгруппой свободной проконечной группы, титт когда ее можно представить как проективный предел/пересечение направленного семейства свободных проконечных групп, и титт когда все ее силовские подгруппы являются свободными про-l-группами.
Для того, чтобы закрыть разрыв между собственной и несобственной погружаемостью, придумано понятие гильбертова (точнее, сепарабельно-гильбертова) поля. Все конечно-порожденные бесконечные поля гильбертовы; абелево расширение гильбертова поля гильбертово. Имеется гипотеза Фрида и Фёлькляйна, утверждающая что все задачи погружения над гильбертовым полем разрешимы в собственном смысле, если все они разрешимы несобственно; другими словами, абсолютная группа Галуа счетного гильбертова поля свободна, если она проективна.
Гипотеза Фрида-Фёлькляйна доказана для задач погружения с абелевым/разрешимым ядром (а также для ядер, составленных из достаточно хороших простых конечных групп -- эта деятельность называется GAR-реализации). Проективность абсолютной группы Галуа кругового поля без труда проверяется в терминах групп Брауэра и теории полей классов, так что гипотеза Фрида-Фёлькляйна влечет гипотезу Шафаревича. Более того, на место кругового поля можно поставить любое расширение поля Q, невложимое ни в вещественные числа, ни в какое-либо расширение какого-либо p-адического поля, имеющее конечный показатель степени при каком-либо простом числе.
В частности, как объяснил мне проф. Яковлев, вместо кругового поля Q^ab имеет смысл рассматривать некоторое его подполе E_Q, а именно, композит подполя, соответствующего кручению в круговой группе Галуа, с полем гауссовых чисел. Абсолютная группа Галуа поля E_Q проективна, так что если гипотеза Фрида-Фёлькляйна верна, то группа Галуа поля рациональных чисел оказывается расширением группы Z/2xZ^ с помощью свободной проконечной группы.
Но все-таки для меня в этой истории интереснее всего не построение реализаций простых групп, а гомологические вопросы. Наверное, можно сказать, так: гомологические аспекты теории Галуа -- это те, которые сохраняют смысл при переходе к прямому пределу, бесконечному объединению возрастающего семейства полей.
Во-первых, какие свойства может иметь коммутант группы Галуа произвольного (бесконечного) алгебраического расширения поля рациональных чисел? Коммутант группы Галуа произвольного поля, содержащего алгебраически замкнутое подполе (как у Богомолова)? Может быть, тут достаточно решить такую теоретико-групповую задачку: какие группы изоморфны коммутантам подгрупп свободной проконечной группы? Судя по тому, каков ответ на аналогичный вопрос для дискретных групп: коммутантами являются свободные группы с бесконечным числом образующих -- задачка не совсем проста.
Во-вторых, про группы Галуа каких полей должна быть эта гипотеза? Что оказывается аналогом поля Q^ab или поля E_Q, когда поле рациональных чисел заменяется на произвольное поле F?
(To be continued)
В таком виде это трудный вопрос, но можно попытаться разобрать его по кусочкам. Прежде всего, ограничимся для простоты счетными полями. Тогда свободность абсолютной группы Галуа эквивалентна разрешимости (в собственном смысле, т.е. в классе полей) всех задач погружения. Если все задачи погружения разрешимы в несобственном смысле, абсолютная группа Галуа (по определению называется) проективной.
Проконечная группа проективна титт когда всякий сюръективный гомоморфизм на нее из какой-либо проконечной группы расщепляется, титт когда она является подгруппой свободной проконечной группы, титт когда ее можно представить как проективный предел/пересечение направленного семейства свободных проконечных групп, и титт когда все ее силовские подгруппы являются свободными про-l-группами.
Для того, чтобы закрыть разрыв между собственной и несобственной погружаемостью, придумано понятие гильбертова (точнее, сепарабельно-гильбертова) поля. Все конечно-порожденные бесконечные поля гильбертовы; абелево расширение гильбертова поля гильбертово. Имеется гипотеза Фрида и Фёлькляйна, утверждающая что все задачи погружения над гильбертовым полем разрешимы в собственном смысле, если все они разрешимы несобственно; другими словами, абсолютная группа Галуа счетного гильбертова поля свободна, если она проективна.
Гипотеза Фрида-Фёлькляйна доказана для задач погружения с абелевым/разрешимым ядром (а также для ядер, составленных из достаточно хороших простых конечных групп -- эта деятельность называется GAR-реализации). Проективность абсолютной группы Галуа кругового поля без труда проверяется в терминах групп Брауэра и теории полей классов, так что гипотеза Фрида-Фёлькляйна влечет гипотезу Шафаревича. Более того, на место кругового поля можно поставить любое расширение поля Q, невложимое ни в вещественные числа, ни в какое-либо расширение какого-либо p-адического поля, имеющее конечный показатель степени при каком-либо простом числе.
В частности, как объяснил мне проф. Яковлев, вместо кругового поля Q^ab имеет смысл рассматривать некоторое его подполе E_Q, а именно, композит подполя, соответствующего кручению в круговой группе Галуа, с полем гауссовых чисел. Абсолютная группа Галуа поля E_Q проективна, так что если гипотеза Фрида-Фёлькляйна верна, то группа Галуа поля рациональных чисел оказывается расширением группы Z/2xZ^ с помощью свободной проконечной группы.
Но все-таки для меня в этой истории интереснее всего не построение реализаций простых групп, а гомологические вопросы. Наверное, можно сказать, так: гомологические аспекты теории Галуа -- это те, которые сохраняют смысл при переходе к прямому пределу, бесконечному объединению возрастающего семейства полей.
Во-первых, какие свойства может иметь коммутант группы Галуа произвольного (бесконечного) алгебраического расширения поля рациональных чисел? Коммутант группы Галуа произвольного поля, содержащего алгебраически замкнутое подполе (как у Богомолова)? Может быть, тут достаточно решить такую теоретико-групповую задачку: какие группы изоморфны коммутантам подгрупп свободной проконечной группы? Судя по тому, каков ответ на аналогичный вопрос для дискретных групп: коммутантами являются свободные группы с бесконечным числом образующих -- задачка не совсем проста.
Во-вторых, про группы Галуа каких полей должна быть эта гипотеза? Что оказывается аналогом поля Q^ab или поля E_Q, когда поле рациональных чисел заменяется на произвольное поле F?
(To be continued)