![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Производные категории DG-комодулей и DG-контрамодулей
Этот результат -- http://posic.livejournal.com/196141.html -- мне воспроизвести теперь не удалось, как я ни старался. Видать, ошибка вышла.
Вот, зато, другой. (Идея нижеследующего почерпнута у Краузе.) У Неемана где-то должно доказываться, что точный функтор из компактно порожденной триангулированной категории в другую триангулированную категорию имеет правый/левый сопряженный тогда и только тогда, когда он сохраняет бесконечные прямые суммы/произведения. Кроме того, функтор локазации по толстой подкатегории сохраняет прямые суммы/произведения, если эта подкатегория замкнута относительно прямых сумм/произведений, вроде бы есть такой факт. Пусть теперь C -- DG-коалгебра; рассмотрим функтор Hot(C-comod_inj) -> D(C-comod). Он сохраняет прямые суммы, так как Acycl(C-comod) и Hot(C-comod_inj) замкнуты относительно прямых сумм; а категория Ноt(C-comod_inj) = D^co(C-comod) компактно порождена, по крайней мере, если кополупростая часть C живет в градуировке 0 и дифференциал зануляется на ней (рассмотреть каноническую возрастающую фильтрацию на C-комодулях). Так что этот функтор имеет правый сопряженный функтор. Функтор вложения Hot(C-comod_inj) -> Hot(C-comod) сопряжен справа к функтору локализации Hot(C-comod) -> D^co(C-comod), так что композиция D(C-comod) -> Hot(C-comod_inj) -> Hot(C-comod) сопряжена к композиции Hot(C-comod) -> D^co(C-comod) -> D(C-comod). Короче, подкатегория Acycl(C-comod) в Hot(C-comod) имеет правый ортогонал, образующий вместе с ней полуортогональное разложение. Аналогичное утверждение имеет место для DG-контрамодулей, поскольку Hot(C-contra_proj) = Hot(C-comod_inj) тоже компактно порождена.
Никакого явного описания этих дополнительных подкатегорий отсюда не получается, однако.Кроме того, хотелось бы ослабить условие, что кополупростая часть C живет в градуировке 0 и дифференциал зануляется на ней, хотя бы до условия, что дифференциал сохраняет кополупростую часть C.
Update: копроизводная категория CDG-комодулей над любой CDG-коалгеброй компактно порождена; никаких дополнительных условий не нужно. Достаточно посмотреть на категорию CDG-комодулей над C и замкнутых морфизмов между ними как на категорию градуированных комодулей над (квази-дифференциальной) коалгеброй C~; тогда каноническая возрастающая фильтрация на C~-комодулях распиливает произвольный CDG-комодуль на CDG-комодули, являющиеся прямыми суммами конечномерных.
Ср. http://posic.livejournal.com/222799.html
Вот, зато, другой. (Идея нижеследующего почерпнута у Краузе.) У Неемана где-то должно доказываться, что точный функтор из компактно порожденной триангулированной категории в другую триангулированную категорию имеет правый/левый сопряженный тогда и только тогда, когда он сохраняет бесконечные прямые суммы/произведения. Кроме того, функтор локазации по толстой подкатегории сохраняет прямые суммы/произведения, если эта подкатегория замкнута относительно прямых сумм/произведений, вроде бы есть такой факт. Пусть теперь C -- DG-коалгебра; рассмотрим функтор Hot(C-comod_inj) -> D(C-comod). Он сохраняет прямые суммы, так как Acycl(C-comod) и Hot(C-comod_inj) замкнуты относительно прямых сумм; а категория Ноt(C-comod_inj) = D^co(C-comod) компактно порождена
Никакого явного описания этих дополнительных подкатегорий отсюда не получается, однако.
Update: копроизводная категория CDG-комодулей над любой CDG-коалгеброй компактно порождена; никаких дополнительных условий не нужно. Достаточно посмотреть на категорию CDG-комодулей над C и замкнутых морфизмов между ними как на категорию градуированных комодулей над (квази-дифференциальной) коалгеброй C~; тогда каноническая возрастающая фильтрация на C~-комодулях распиливает произвольный CDG-комодуль на CDG-комодули, являющиеся прямыми суммами конечномерных.
Ср. http://posic.livejournal.com/222799.html