![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Производная категория контрагерентных копучков локально кокручения
Вернулся на минутку к размышлениям о контрагерентных копучках и внезапно осознал следующее. На всякой квазикомпактной полуотделимой схеме имеется достаточно много локально инъективных контрагерентных копучков -- всякий контрагерентный копучок можно вложить в локально инъективный. В частности, всякий (локально контраприпособленный) контрагерентный копучок можно вложить в контрагерентный копучок локально кокручения.
Далее, в категории контрагерентных копучков функторы бесконечного произведения точны. При этом классы локально инъективных контрагерентных копучков и контрагерентных копучков локально кокручения замкнуты относительно бесконечных произведений. Отсюда следует, с помощью стандартного аргумента, что из всякого комплекса контрагерентных копучков бьет квазиизоморфизм в комплекс локально инъективных контрагерентных копучков. С помощью другого стандартного аргумента отсюда следует, что (обычная) производная категория контрагерентных копучков эквивалентна факторкатегории комплексов локально инъективных контрагерентных копучков по ацикличным (в категории всех, т.е., локально контраприспособленных контрагерентных копучков) комплексам, а также факторкатегории комплексов контрагерентных копучков локально кокручения по ацикличным (в категории локально контраприспособленных контрагерентных копучков) комплексам.
Все вышесказанное более-менее всегда было понятно. Фокус в том, что всякий ацикличный комплекс модулей кокручения (над любым кольцом) ацикличен в точной категории модулей кокручения. То есть, его модули коциклов являются модулями кокручения. Это один из основных результатов работы https://arxiv.org/abs/1704.06672 (восходящий к одному из результатов работы https://arxiv.org/abs/1412.1615 ). Из него следует, что всякий ацикличный (в категории локально контраприспособленных контрагерентных копучков) комплекс контрагерентных копучков локально кокручения ацикличен уже в категории контрагерентных копучков локально кокручения.
Поэтому (обыкновенная неограниченная) производная категория локально контраприспособленных контрагерентных копучков эквивалентна производной категории контрагерентных копучков локально кокручения, на любой квазикомпактной полуотделимой схеме. Это говорит о том, что, в принципе, может быть, можно не пользоваться вообще локально контраприспособленными контрагерентными копучками, а ограничиться контрагерентными копучками локально кокручения, во всей теории.
И тогда, если это действительно работает, то очень плоская гипотеза оказывается не так уж и нужна...
Далее, в категории контрагерентных копучков функторы бесконечного произведения точны. При этом классы локально инъективных контрагерентных копучков и контрагерентных копучков локально кокручения замкнуты относительно бесконечных произведений. Отсюда следует, с помощью стандартного аргумента, что из всякого комплекса контрагерентных копучков бьет квазиизоморфизм в комплекс локально инъективных контрагерентных копучков. С помощью другого стандартного аргумента отсюда следует, что (обычная) производная категория контрагерентных копучков эквивалентна факторкатегории комплексов локально инъективных контрагерентных копучков по ацикличным (в категории всех, т.е., локально контраприспособленных контрагерентных копучков) комплексам, а также факторкатегории комплексов контрагерентных копучков локально кокручения по ацикличным (в категории локально контраприспособленных контрагерентных копучков) комплексам.
Все вышесказанное более-менее всегда было понятно. Фокус в том, что всякий ацикличный комплекс модулей кокручения (над любым кольцом) ацикличен в точной категории модулей кокручения. То есть, его модули коциклов являются модулями кокручения. Это один из основных результатов работы https://arxiv.org/abs/1704.06672 (восходящий к одному из результатов работы https://arxiv.org/abs/1412.1615 ). Из него следует, что всякий ацикличный (в категории локально контраприспособленных контрагерентных копучков) комплекс контрагерентных копучков локально кокручения ацикличен уже в категории контрагерентных копучков локально кокручения.
Поэтому (обыкновенная неограниченная) производная категория локально контраприспособленных контрагерентных копучков эквивалентна производной категории контрагерентных копучков локально кокручения, на любой квазикомпактной полуотделимой схеме. Это говорит о том, что, в принципе, может быть, можно не пользоваться вообще локально контраприспособленными контрагерентными копучками, а ограничиться контрагерентными копучками локально кокручения, во всей теории.
И тогда, если это действительно работает, то очень плоская гипотеза оказывается не так уж и нужна...