![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Контрпример к сильной замкнутости замкнутых подгрупп/идеалов?
Есть такая книжка V.I. Arnautov, S.T. Glavatsky, A.V. Mikhalev, "Introduction to the theory of topological rings and modules", Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics 197, Marcel Dekker, New York, 1996.
Теорема 4.1.48 на странице 292 там утверждает, что всякая отделимая топологическая абелева группа X является факторгруппой (с фактортопологией) некоторой полной отделимой топологической абелевой группы Y по замкнутой подгруппе. Берется Y, равная прямой сумме счетного числа копий X, и приводится явная конструкция полной отделимой топологии на Y по произвольной отделимой топологии на X.
Теорема 4.1.49 утверждает, что аналогично можно получить любое отделимое кольцо как факторкольцо полного отделимого кольца по замкнутому идеалу, с помощью той же конструкции. Но это утверждение уже явно неверно, по-моему (отображение не является гомоморфизмом колец). Интересно, верно ли доказательство теоремы 4.1.48 (про группы).
P.S. Да, мне кажется, доказательство теоремы 4.1.48 верно. Прекрасный контрпример!
Теорема 4.1.48 на странице 292 там утверждает, что всякая отделимая топологическая абелева группа X является факторгруппой (с фактортопологией) некоторой полной отделимой топологической абелевой группы Y по замкнутой подгруппе. Берется Y, равная прямой сумме счетного числа копий X, и приводится явная конструкция полной отделимой топологии на Y по произвольной отделимой топологии на X.
Теорема 4.1.49 утверждает, что аналогично можно получить любое отделимое кольцо как факторкольцо полного отделимого кольца по замкнутому идеалу, с помощью той же конструкции. Но это утверждение уже явно неверно, по-моему (отображение не является гомоморфизмом колец). Интересно, верно ли доказательство теоремы 4.1.48 (про группы).
P.S. Да, мне кажется, доказательство теоремы 4.1.48 верно. Прекрасный контрпример!